Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I
Ausgewählte Lösungen zur 2. Übung
Martin Karl
Aufgabe 1:
a) ∃x ∈ Z ∃x ∈ Z ∀y ∈ Z : ¬P (x, 2y, z). Es handelt sich um eine wahre Aussage,
hier der Beweis (gemäß Beweiser/Gegenspieler-Verfahren): Der Beweiser belegt
x = 3 und z = 4. Der Gegenspieler wählt ein y = a ∈ Z. Betrachtet man nun
¬P (3, 2a, 4):
¬P (3, 2a, 4) ⇔ 3 + 2a 6= 4 ⇔ 2a 6= 1 ⇔ a 6=
1
2
Die letzte Ungleichheit gilt stets, da a eine ganze Zahl ist, also ist ¬P (3, 2a, 4)
für alle a ∈ Z wahr.
d) ∀x ∈ N ∀z ∈ N ∃y ∈ N : P (x, y, z). Es handelt sich um eine falsche Aussage
(wähle als Gegenbeispiel x = 1, z = 0). Die Negation ist also zu beweisen. Die
Negation ist:
∃x ∈ N ∃x ∈ N ∀y ∈ N : ¬P (x, y, z)
Der Gegenspieler wählt für y = a ∈ Z. Der Beweiser belegt x = b + 1 und z = b.
Es ergibt sich so
P (b + 1, a, b) ⇔ b + 1 + a 6= b ⇔ 1 + a 6= 0 ⇔ a 6= −1
Die letzte Ungleichheit gilt stets, da a ∈ N gilt, also ist ¬P (b + 1, a, b) für alle
a ∈ N wahr.
Aufgabe 2:
Die gegebene Aussage ist zu negieren und es ist nachzuweisen, dass für den Wert
p = 15, die Negation wahr ist.
¬ [(p > 1) ∧ ∀x ∈ N ∀y ∈ N (p = x · y ⇒ x = 1 ∨ y = 1)]
(1)
≡(p ≤ 1) ∨ ∃x ∈ N ∃y ∈ N ¬(p = x · y ⇒ x = 1 ∨ y = 1)
(2)
≡(p ≤ 1) ∨ ∃x ∈ N ∃y ∈ N ¬((p 6= x · y) ∨ (x = 1 ∨ y = 1))
(3)
≡(p ≤ 1) ∨ ∃x ∈ N ∃y ∈ N (p = x · y ∧ x 6= 1 ∧ y 6= 1)
Umformungen: (1) deMorgan, (2) nutze s ⇒ t ⇔ ¬s ∨ t, (3) deMorgan.
Für p = 15 ist p ≤ 1 eine falsche Aussage aber der zweite Teil ist wahr, indem
man beispielsweise x = 3 6= 1 und y = 5 6= 1 setzt.
Aufgabe 3: Beweistechniken
b) Beweisen sie den folgenden Satz durch Kontraposition!
Satz: Ist (mindestens) eine der ganzen Zahlen a und b NICHT durch 5 teilbar,
dann ist auch (mindestens) eine der ganzen Zahlen c = a + 2b und d = a + 3b
NICHT durch 5 teilbar.
1
Beweis:
A: (mind.) eine der Zahlen a, b ∈ Z NICHT durch 5 teilbar
¬A: a und b durch 5 teilbar
B: (mind.) eine der Zahlen c = a + 2b, d = a + 3b ∈ Z NICHT durch 5 teilbar
¬B: c und d durch 5 teilbar
Zu zeigen ist nun ¬B =⇒ ¬A.
Gelte also, dass 5 die Zahlen c und d teilt, dann teilt 5 auch die Summe und die
Differenz von c und d. Also
5|c = a + 2b
5|d = a + 3b
also folgt 5|d − c = a + 3b − a − 2b = b
und 5|c + d = a + 2b + a + 3b = 2a + 5b ⇒ 5|2a ⇒ 5|a
2