Lineare Algebra und Geometrie I

Zürich, 24.11.2003
Institut für Mathematik
Universität Zürich
Lineare Algebra und Geometrie I
6. Übung
Abgabetermin: 4.12.2003
Aufgabe 1
Seien (G, ◦) eine Gruppe und U, V ⊂ G zwei Untergruppen von G. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) Eine nichtleere Teilmenge W ⊂ G ist genau dann eine Untergruppe von G, wenn g◦h −1 ∈ W ,
∀g, h ∈ W .
(b) U ∩ V ist eine Untergruppe von G.
(c) Genau dann ist U ∪ V eine Untergruppe, wenn U ⊂ V oder V ⊂ U .
4 Punkte
Aufgabe 2
Eine nichtleere Menge H, versehen mit einer Verknüpfungsoperation “+”, heisst Monoid falls die
folgende Bedingungen gelten:
i) “+” ist assoziativ,
ii) es gibt ein neutrales Element e ∈ H, d.h. ein Element e mit:
∀h ∈ H.
h + e = e + h = h,
Ein Monoid (H, +) heisst abelsch falls die Verknüpfung + kommutativ ist.
Sei jetzt (H, +) ein abelsches Monoid. Auf das Produkt H × H führen wir die Relation ∼ ein:
(a, b) ∼ (ã, b̃) ⇐⇒ ∃c, c0 ∈ H mit (a + c, b + c) = (ã + c0 , b̃ + c0 )
Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) ∼ ist eine Äquivalenzrelation.
(b) G(H) := H × H/∼ ist eine Gruppe bzgl. der Verknüpfung:
[(a, b)] + [(a0 , b0 )] := [(a + a0 , b + b0 )].
Finden Sie dazu das neutrale Element, und zu beliebigem [(a, b)] ∈ G(H) das Inverse.
(c) Die Abbildung
ι: H
a
→ G(H)
7→ [(a, e)]
ist verknüpfungstreu (ι(a + b) = ι(a) + ι(b), ∀a, b ∈ H).
(d) Falls H bereits eine Gruppe ist, ist ι ein Isomorphismus von Gruppen.
(e) Es gilt:
G ( , +) ' ( , +)
G ?, · ' ( ? , ·)
Dabei bedeutet ' “isomorph zu”, + (bzw. ·) die übliche Addition
(bzw. Multiplikation) von
Zahlen, und ? = \ {0}, ? = \ {0}. Was ist G ( , ·) ?
4 Punkte
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Aufgabe 3
Sei (G, ◦) eine Gruppe, und a ∈ G. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a) Die Abbildung
Ca : G → G
g 7→ Ca (g) := a ◦ g ◦ a−1
ist ein Isomorphismus ∀a ∈ G.
Bemerkung: die Abbildung Ca (·) heisst Konjugation.
(b) Die Abbildung
φ : G → S(G)
a 7→ τa−1 (·)
ist ein Homomorphismus. Dabei sind τa (·) die in der Vorlesung eingeführte Rechtstranslation,
und S(G) die symmetrische Gruppe.
(c) Ein Isomorphismus G → G heisst Automorphismus von G. Zeigen Sie, dass die Menge
Aut(G) aller Automorphismen einer Gruppe G eine Untergruppe ihrer symmetrischen Gruppe S(G) ist. Verifizieren Sie, dass die Menge Inn(G) aller Konjugationen eine Untergruppe
von Aut(G) ist.
4 Punkte
Aufgabe 4
Die Drehgruppe (T, ◦) eines regulären Tetraeders umfasst alle einfachen Drehungen, die den Tetraeder in sich überführen. Dabei bezeichnet ◦ die Hintereindanderausführung zweier Drehungen.
(a) Listen Sie die 12 Elemente der Gruppe (T, ◦) auf:
(b) Prüfen Sie, ob (T, ◦) eine abelsche Gruppe ist.
4 Punkte