Algebra, 1. ¨Ubung SS 2012 1. Nach Satz 1.4 der Vorlesung ist jede

Algebra, 1. Übung
SS 2012
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1. Nach Satz 1.4 der Vorlesung ist jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch.
Somit ist insbesondere die Untergruppe
U = h96, 42i := {96n + 42m : n, m ∈ Z}
der Gruppe (Z, +) zyklisch. Wie erhält man mithilfe des Euklidischen Algorithmus ein
erzeugendes Element von U ?
Bestimmen Sie ebenfalls ein erzeugendes Element von h182, 143i!
2. Untersuchen Sie, welche Eigenschaften die Mengen Z, (m) und Zm , versehen mit der Multiplikation, besitzen!
3. Geben Sie die Verknüpfungstafeln für (Z4 , +) und (Z4 , ·) an!
4. Beweisen Sie den kleinen Satz von Fermat: Für jede Zahl a ∈ Z und jede Primzahl p gilt
ap ≡ a (mod p).
5. Etwas allgemeiner ist der Satz von Euler-Fermat: Für jede Zahl a ∈ Z und jedes m ∈ N
mit ggT(a, m) = 1 gilt
aϕ(m) ≡ 1 (mod m),
wobei ϕ(m) die Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen in {1, . . . , m − 1} bezeichnet
(die sog. Eulersche ϕ-Funktion).
Nutzen Sie dieses Resultat um 272011 (mod 10) zu berechnen.
6. Z[x] bezeichne die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus Z. Dividieren Sie das Polynom f = 4x5 + 6x3 + x + 2 durch das Polynom g = x2 + x + 1 mit Rest!
7. Zerlegen Sie die folgenden Polynome in Faktoren möglichst niedrigen Grades, jeweils in
Q[x], R[x] und C[x]!
x4 − 1
x2 − 2
x4 − 5x2 + 4
x5 − x3 − 2x.
8. Sei (H, ◦) Halbgruppe, e ∈ H ein linksneutrales Element (d.h. e ◦ a = a ∀a ∈ H) und
e0 ∈ H ein rechtsneutrales Element (d.h. a ◦ e0 = a ∀a ∈ H). Gilt dann e = e0 ? Welche
Konsequenzen ergeben sich daraus?
9. Sei (H, ◦) Halbgruppe mit Einselement e und a ∈ H. Ein b ∈ H heißt linksinverses
Element (bzw. rechtsinverses Element) zu a, falls b ◦ a = e (a ◦ b = e). Diskutieren Sie
Zusammenhänge zwischen diesen.
10. (HA) Gibt es eine Halbgruppe (H, ◦),
(a) die ein linksneutrales, aber kein rechtsneutrales Element besitzt?
(b) die ein neutrales Element sowie ein Element a besitzt, das zwar links- aber nicht
rechtsinvertierbar ist?
Geben Sie diese ggf. an!
11. Untersuchen Sie folgende Behauptung: Eine nichtleere Menge G, versehen mit einer inneren
Verknüpfung ◦ : G × G → G, ist genau dann eine Gruppe, falls gilt
I) Für beliebige a, b, c ∈ G gilt (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)
II) Es existiert ein linksneutrales Element e ∈ G
III) Für jedes a ∈ G existiert ein zu a linksinverses Element.
12. (HA) Die Halbgruppe (H, ◦) besitze ein neutrales Element e. Zeigen Sie: Die Menge der
invertierbaren Elemente von H bildet bezüglich ◦ eine Gruppe.
13. Man untersuche folgende Verknüpfungen auf ihre Eigenschaften. In welchen Fällen erhält
man Halbgruppen oder sogar Gruppen?
(a) N × N → N, (m, n) 7→ mn
(b) N × N → N, (m, n) 7→ ggT(m, n)
(c) (HA) N × N → N, (m, n) 7→ kgV(n, m)
p
(d) (HA) R × R → R, (x, y) 7→ 3 x3 + y 3
(e) (HA) (G, ◦) mit G := Z und m ◦ n = m + n − mn
(f) (HA) (G, ◦) mit G := {a ∈ Q : a > 0}, a ◦ b = ab
√
(g) (G, +) mit G := a + b 2 : a, b ∈ Q und der gewöhnlichen Addition reeller Zahlen
√
(h) (G, ·) mit G := a + b 2 : a, b ∈ Q, a2 + b2 6= 0 und dem gewöhnlichen Produkt
cos ϕ − sin ϕ
: ϕ ∈ R und dem Matrizenprodukt.
(i) (G, ·) mit G :=
sin ϕ cos ϕ
Z Schränkt man die zulässigen Werte für ϕ im vorhergehenden Beispiel geeignet ein,
erhält man eine Untergruppe. Für welche Einschränkungen erhält man endliche Untergruppen? Geben Sie auch eine (echte) unendliche Untergruppe an!
14. (HA) Wie viele verschiedene innere Verknüpfungen gibt es auf einer Menge mit 3 Elementen?
15. Diskutieren Sie alternative Sichtweisen auf die zyklische Gruppe (Zm , +) der Ordnung m.
Genauer: Geben Sie andere, isomorphe zyklische Gruppen derselben Ordnung samt der
zugehörigen Isomorphismen an.
16. (HA) Man gebe die Gruppentafeln der primen Restklassen Zprim
modulo m an für alle
m
3 ≤ m ≤ 16.
17. Bestimmen Sie die Inverse von 25 in Zprim
!
42
18. (HA) Sei G Gruppe primer Ordnung. Zeigen Sie: G wird von jedem seiner Elemente
erzeugt.
19. Gibt es eine nicht-abelsche Gruppe mit weniger als 6 Elementen?
20. Beweisen Sie: Die Verknüpfungstafel einer endlichen Halbgruppe G ist genau dann eine
Gruppentafel, wenn in jeder Zeile und jeder Spalte der Tafel jedes Element von G höchstens
einmal vorkommt.
21. Für welche nichtleeren Mengen M ist die symmetrische Gruppe über M abelsch?
22. (HA)
(a) Man zeige: Für alle Elemente a einer Gruppe G sei a2 = e. Dann ist G abelsch.
(b) Formulieren Sie die Umkehrung der Aussage in a). Beweisen oder widerlegen Sie diese
Umkehrung.
(c) Sei G endliche Gruppe gerader Ordnung. Zeigen Sie, dass es ein g ∈ G, g 6= e gibt,
sodass g 2 = e.
Algebra, 1. Hausaufgabe
Abgabetermin: 02. Mai 2011
SS 2012
http://www.tu-chemnitz.de/∼peju/lehre/algebra.html
1. (HA) Gegeben seien die Matrizen
1 0
i 0
0 1
0 i
E :=
, I :=
, J :=
, K :=
0 1
0 −i
−1 0
i 0
aus (M (2 × 2, C), ·). Man gebe die Quaternionengruppe hE, I, J, Ki an und bestimme alle
Untergruppen.
2. Bearbeiten Sie die mit (HA) gekennzeichneten Aufgaben der 1. Übung.