9. Übungsblatt - Fachrichtung Mathematik

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
Prof. Dr. U. Baumann, J. Greiner
Sommersemester 2017
9. Übungsblatt zur Vorlesung
«Algebra für Informationssystemtechniker»
Gruppen und Halbgruppen
V47. Vorbereitungsaufgabe, bitte vor Beginn dieser Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
a) Stellen Sie tabellarisch dar, welche der Eigenschaften „Abgeschlossenheit“ (bezüglich der Operation), „Assoziativität“, „Existenz eines neutralen Elements“,
„Invertierbarkeit aller Elemente“ Sie bei einer Struktur überprüfen müssen, um zu
zeigen, dass diese Struktur eine Halbgruppe, ein Monoid oder eine Gruppe ist.
b) Kann es mehrere neutrale Elemente in Monoiden geben? Geben Sie ein Beispiel
an oder beweisen Sie, dass die Antwort „Nein“ lautet.
Ü48. Finden Sie alle Unterhalbgruppen von folgender Halbgruppe:
˝
1
2
3
4
1
1
2
1
4
2
2
4
2
1
3
1
2
1
4
4
4
1
4
2
Welche davon sind auch Monoide oder Gruppen?
Ü49. Beweisen Sie:
a) Der Durchschnitt zweier Unterhalbgruppen U, V einer Halbgruppe ( H, ˝) ist
eine Unterhalbgruppe.
b) Die Menge der invertierbaren Elemente H ˚ eines Monoids ( H, ˝) bildet mit der
Einschränkung von ˝ auf H ˚ eine Gruppe.
c) Eine Halbgruppe ( H, ˝) ist genau dann eine Gruppe, wenn die Gleichungen
a ˝ x = b und y ˝ a = b für gegebene a, b P H immer lösbar sind (in H ).
Ü50. Welche der folgenden Mengen mit Operationen sind Halbgruppen, Monoide bzw.
Gruppen?
a) (Qzt´1u, ˝) mit x ˝ y := xy + x + y .
b) Sei X eine Menge und S := P( X ). Betrachten Sie (S, X), (S, Y) und (S, 4),
wobei A4 B := AzB Y BzA die symmetrische Differenz bezeichnet.
c) Auf einem fiktiven Computer werden Fließkommazahlen als Elemente der Menge
S := t (s, e) | s P t 0, . . . , 9 u, e P t ´4, . . . , 5 u u dargestellt. Ein Paar (s, e) repräsentiert s ¨ 10e P Q. Um (s1 , e1 ) ‘ (s2 , e2 ) zu berechnen, wird die Addition in Q
ausgeführt und dann zur nächsten mit S darstellbaren Zahl abgerundet. Man
betrachte (S, ‘).
H51. Hausaufgabe, bitte vor Beginn der nächsten Übung unter Angabe von Name und
Matrikelnummer abgeben.
Überprüfen Sie durch geeignete Rechnungen, ob die folgenden Strukturen Halbgruppen, Monoide bzw. Gruppen sind. Bestimmen Sie jeweils, ob die Operation kommutativ
ist.
a) (S, ˝), wobei S := t f : N Ñ N | f injektiv u und ˝ die Komposition von Funktionen ist.
b) (Q, ˝), wobei @x, y P Q : x ˝ y := x2 + y .
c) (R2ˆ2 , ˝): Alle 2 ˆ 2 Matrizen über R, mit der Operation
˝ : (R2ˆ2 , R2ˆ2 ) Ñ R2ˆ2 definiert durch
a b
e f
max( a, e) max(b, f )
˝
:=
,
c d
g h
max(c, g) max(d, h)
wobei max auf das Größe der Argumente abbildet (das „Maximum”).
E52. Beweisen Sie die zweite Kürzungsregel aus der Vorlesung:
Sei ( G, ˝) eine Gruppe. Dann gilt:
@a, b1 , b2 P G : b1 ˝ a = b2 ˝ a ñ b1 = b2
E53. Beweisen Sie folgendes Untergruppenkriterium:
Sei ( G, ˝) eine Gruppe, H ‰ U Ď G. Dann ist U genau dann eine Untergruppe von G
wenn gilt:
@a, b P U : a ˝ b´1 P U.
E54.˚ Sei S := t f : N Ñ t 0, . . . , 9 u u die Menge der „unendlich langen Dezimalzahlen”.
Für a P S, n P Nzt 0 u bezeichne a[n] die natürliche Zahl, deren Dezimaldarstellung
genau die ersten n Ziffern von a sind. Dabei soll die Reihenfolge beibehalten werden
und a[1] soll bei beiden Zahlen ganz rechts stehen (z.B. a = . . . 22334567 P S, dann
a[3] = 567 P N). Für a, b P S sei a ‘ b das Element von S, für welches gilt:
@n P N : ( a ‘ b)[n] = ( a[n] + b[n])[n].
a) Zeigen Sie, dass (S, ‘) ein Monoid ist.
b) Zeigen Sie, dass (S, ‘) eine Gruppe ist.
c) Zeigen Sie: Es existiert x P S, so dass gilt: x ‘ x ‘ x = . . . 000001
(genauer: @n P N : ( x ‘ x ‘ x )[n] = 1).