Ubungen zu Fana2 WS16, 6. ¨Ubung

Übungen zu Fana2 WS16, 6. Übung
1. Ist µ ein nichtnegatives endliches Borelmaß auf R, sodass alle Polynome
p(t)
R
über R nach µ integrierbar sind, so nennt man die Zahlen ηn = tn dµ, n ∈
N ∪ {0} die Momente des Maßes µ. Man zeige, dass diese Momente immer die
Positivitätsbedingung aus dem Beispiel 7 der 5ten Übung erfüllen.
Man zeige auch umgekehrt, dass es zu Zahlen (ηn )n∈N∪{0} , die diese Positivitätsbedingung erfüllen, immer ein nichtnegatives endliches Borelmaß auf R gibt,
sodass diese Zahlen genau die Momente dieses Maßes sind (Hamburgersches
Momentenproblem).
Hinweis: Betrachte eine selbstadjungierte Erweiterung von dem S aus dem Beispiel 7 der 5ten Übung.
2. Sei H ein Hilbertraum, S ⊆ H × H eine symmetrische und abgeschlossene Relation. Man zeige, dass im Falle von endlichen Defekt Indizes (n+ , n− ) immer
codimS S ∗ = n+ + n− , wobei codimS S ∗ = dim S ∗ /S .
Wie groß ist dann codimS A, wenn n+ = n− und A eine selbstadjungierte Erweiterung von S in H × H ist?
3. Sei H ein Hilbertraum, S ⊆ H × H eine symmetrische Relation. Zeigen Sie, dass
dann auch S ( {0} × (dom S )⊥ ) eine symmetrische Relation ist.
Zeigen Sie weiters, dass wenn zusätzlich S ein abgeschlosser, nicht dicht definierter Operator (!!) ist, der Defekt Indizes (1, 1) hat, es immer genau eine
selbstadjungierte Erweiterung A0 in H × H gibt mit mul A0 , {0}. Alle anderen selbstadjungierten Erweiterungen sind Operatoren.
R
4. Sei µ ein nicht negatives Borelmaß auf R mit R |t|21+1 dµ(t) < +∞. Betrachte
auf H = L2 (R, B, µ, C) die lineare Relation Mt := {( f ; g) ∈ H × H : t f (t) =
g(t) µ − f.ü.}. Zeigen Sie, dass Mt ein selbstadjungierter Operator ist.
Weiters zeige man, dass alle f ∈ dom Mt integrierbar
bzgl. µ sind. Schließlich
R
sei S ≤ H × H die Relation {( f ; g) ∈ Mt : R f dµ = 0}. Zeigen Sie, dass S
symmetrisch mit Defect (1, 1) ist, und dass für z ∈ C\R der Raum ran(S −z̄)⊥ von
1
(t 7→ t−z
) aufgespannt wird. Was muss µ erfüllen, damit S nicht dicht definiert
ist?
Hinweis: Für Mt∗ = Mt betrachten Sie ((Mt − z)−1 )∗ !
5. Zeigen Sie, dass eine Halbgruppe (T (t))t∈[0,+∞) von Operatoren in X genau dann
stark stetig ist, wenn gilt:
∃M > 0, δ > 0 und ein dichter Teilraum E von X mit kT (t)k ≤ M
limt→0 kT (t)x − xk = 0 ∀x ∈ E.
∀t ∈ [0, δ],
Verwenden Sie diese Tatsache, um zu zeigen, dass für p ∈ [1, +∞) die Translationshalbgruppe (T (t) f )(s) = f (s + t) für f (s) ∈ L p (R) eine stark stetige Halbgruppe ist.
6. Zeigen Sie, dass auf L1 (R) mit
(
2 f (t + s)
T (t) f (s) =
f (t + s)
s ∈ [−t, 0]
sonst
eine stark stetige Halbgruppe gegeben ist, für die die Abschätzung kT (t)k ≤ Meωt
nur für M ≥ 2 gilt.
7. Auf dem Banachraum C([0, 1]) sei die Kontraktionshalbgruppe {T (t)} durch
(T (t) f )(s) = f (min(1, t + s)) gegeben. Man bestimme den infinitesimalen Erzeuger von T .
Hinweis: Weisen wirklich nach, dass der bestimmte Operator B tatsächlich der
infinitesimalen Erzeuger A von T ist! Dazu reicht es, sich von A ⊆ B bzw. B ⊆ A
und λ ∈ ρ(B) für hinreichend großes λ > 0 zu überzeugen! (Warum?)
8. Sei H = L2 (R) und A der Multiplikationsoperator mit it, dh. f 7→ it f (t) mit
dom A = { f ∈ H : it f (t) ∈ H}. Von welcher Halbgruppe ist A der infinitesimalen
Erzeuger.