Serie 4: Integrale und Wahrscheinlichkeitsdichten

Übungen zur Quantenphysik
Serie 4: Integrale und Wahrscheinlichkeitsdichten
1. Training alter und neuer Integrationstechniken
Bestimmte Integrale speditiv berechnen zu können gehört zu den Grundvoraussetzungen, wenn man
Quantenmechanik betreiben will. Das sollen Sie hier trainieren. Gehen Sie möglichst clever vor, indem
Sie Funktionssymmetrien ausnutzen sowie allfällige innere und äussere Ableitungen erkennen.
Z 2
Z 2
(x3 − 2x) dx
(x2 − 1) dx
(b)
(a)
−2
−2
2
(c)
Z
(e)
Z
π
(g)
Z
1
(i)
Z
3/2
(k)
Z
1
(m)
Z
Z
1
(x3 + x2 − 2x − 1) dx
−2
√
π
0
−π
−1
1/2
(d)
π
x cos(x2 )
dx
2
−π
x cos(x2 )
dx
2
(f)
Z √π
π/2
(h)
Z
1
(j)
Z
1
(l)
Z
1
(n)
Z
Z
0
2
0
5
sin x
dx
x4
π/4
1
dx
2
x +1
−1
x
dx
2
x +1
−1
e−x dx
x cos(x2 )
dx
2
cos x
dx
sin4 x
x2
x
dx
+1
−1
√
dx
4 1 − x2
e−3x dx
−1
−1
(o)
Z
2
xe−2x dx
(p)
2
xe−2x dx
−1
−1
Tipps: Neben einem Blick auf Seite 15 im Ergänzungsskript (Integrationsregeln) lohnt sich auch einer
auf Seite 5 mit den Ableitungen grundlegender Funktionen. Sich bei manchen Funktionen den Graphen
mit GeoGebra zeichnen zu lassen könnte fürs Verständnis ebenfalls sehr hilfreich sein.
2. Der fallende Stein (vgl. Griffiths: Beispiel 1.1 und Aufgabe 1.2)
Diese Aufgabe entspricht der Aufgabe 1.2 auf Seite 33 im QM-Buch von Griffiths.
Tipps:
• Zu (a): Die Standardabweichung sollte man aus σ 2 = hx2 i − hxi2 berechnen. Dabei ist hxi =
h
3 ≈ 0.333 h ja bereits bekannt.
• Die Lösung von (a) lautet: σ =
2h
√
3 5
≈ 0.298 h.
• Zu (b): Wofür steht das folgende Integral?
Z hxi+σ
̺(x) dx
hxi−σ
• Berechnen Sie bei (b) die Lösung nicht exakt, sondern lediglich auf 3 Nachkommastellen.
1
3. Das schwingende Federpendel
Die Schwingung eines (reibungsfreien) Federpendels wird beschrieben durch:
2π
x(t) = A · sin(ωt)
mit ω =
T
• A steht für die Amplitude (= Ausschlagsstärke) der Schwingung. Das Pendel schwingt also
zwischen xmin = −A und xmax = +A hin und her. x = 0 steht für die mittlere Lage.
• Die Periode T gibt an, wie lange eine einzelne, komplette Schwingung des Pendels dauert.
• Die zusätzlich eingeführte Grösse ω ≡ 2π
T nennt man Kreisfrequenz der Schwingung. Mit ihr
wird die mathematische Behandlung übersichtlicher.
Wie schon in Beispiel 1.1 im Griffiths soll dieses Pendel beim Schwingen fotografiert werden. Zwischen
dem Zeitpunkt t = − T4 (Pendel ganz unten) und t = + T4 (Pendel ganz oben) soll eine Vielzahl Bilder
mit völlig zufälligen Zeitabständen entstehen. Die Zeitspanne, in der die Fotos gemacht werden, beträgt
also τ = T2 und wir halten fest:
dt
Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein bestimmtes Foto zwischen
=
̺(t) dt =
den beiden Zeitpunkten t und (t + dt) geschossen wird
τ
Die auf die Zeit bezogene Wahrscheinlichkeitsdichte ̺(t) beträgt also:
1
2
̺(t) = =
τ
T
(a) Wie lautet die Umkehrfunktion
t(x), die jedem Ort x im Intervall [−A; A] (kurz: x ∈ [−A; A])
einen Zeitpunkt t ∈ − T4 ; T4 zuordnet?
(b) Schliessen Sie aus ̺(t) dt = ̺(x) dx auf die örtliche Wahrscheinlichkeitsdichte ̺(x) und skizzieren
Sie anschliessend ̺(x) für A = 1 und A = 4. GeoGebra mag Ihnen dabei behilflich sein.
(c) Fassen Sie nochmals in Worte, wofür ̺(x) steht.
(d) Überprüfen Sie, dass gilt:
Z
+∞
̺(x) dx = 1
−∞
(e) Vergewissern Sie sich ebenso, dass hxi = 0.
(f) Berechnen Sie die mittlere Entfernung h|x − hxi|i = h|x|i des Pendels zur mittleren Lage.
(g) Ermitteln Sie die Standardabweichung σx des Federpendels.
r
Z
x 2 c3
x
x2 dx
c2 x
q
Tipp:
1−
+ arcsin
2 = − 2
c
2
c
1 − xc
(h) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Pendel auf einem zufällig ausgewählten Foto
im Intervall [hxi − σx ; hxi + σx ] = [−σx ; +σx ] zu sehen ist?
2