ANHANG

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2. Die Galileischen Pendelgesetze und der Beweis, dass alle Körper im
Schwerefeld der Erde (ohne Luftwiderstand) gleich schnell fallen
Galilei ist der Überlieferung nach 1581 als Jugendlicher während eines
Gottesdienstes in der Kathedrale von Pisa auf die Eigenschaften eines Pendels
aufmerksam geworden. Ein schwerer Leuchter hoch oben im Schiff war während
der Messe durch einen Luftzug in Schwingung versetzt worden. Es fiel Galilei
auf, dass obwohl der maximale Schwingungswinkel sich immerzu veränderte, die
Zeit, die der Lüster für eine ganze Schwingung benötigte, immer die gleiche
blieb (er benutzte seinen Puls um dies zu überprüfen).
Später unternahm er Versuche, die jeder einzelne leicht nachvollziehen kann. So
verglich er Pendel verschiedener Massen (jedoch gleicher Länge) und er
bemerkte, dass sie alle die gleiche Schwingungsperiode aufwiesen. Dies war
bereits der Beweis dafür, dass alle Körper im Schwerefeld der Erde (in gleicher
Entfernung zum Erdmittelpunkt) mit gleicher Geschwindigkeit fallen (denn wenn
schwerere Körper schneller fallen sollten als leichtere, so ist zu erwarten, dass
schwerere Pendel (da diese ja nur der Schwerekraft unterworfen sind) auch
schneller schwingen als leichtere). Desweiteren beobachtete er die
Schwingungsdauern verschieden langer Pendel. Ihm fiel dabei auf, dass ein
viermal so langes Pendel, doppelt so lange braucht um eine Schwingung
auszuführen. So besitzt ein Pendel von einer Länge von 25 cm eine Periode von
etwa einer Sekunde (auf der Erde), während ein 1 m langes Pendel gut 2
Sekunden für eine Hinundherbewegung benötigt.
Die Periode eines Pendels ist also unabhängig von seiner Masse und seiner
Amplitude, jedoch proportionell zur Quadratwurzel seiner Länge. Die
Proportionalitätskonstante auf der Erde ist gemäß den oben genannten
Beispielen annähernd gleich 2.
Im Allgemeinen gilt folgende Gleichung für (ideale) Pendel :
T
2
g
l
wobei T die Periode des Pendels in Sekunden bezeichnet, g den
Beschleunigungswert des Schwerefeldes (in Meter pro Qudratsekunde) und l die
Länge des Pendels in Metern.  ist die Kreiskonstante ( 3,1415926).
3. Ableitung des dritten Kepler´schen Gesetzes aus der Newton´schen
Gravitationsformel
Das von Newton formulierte Gravitationsgesetz besagt, dass die
Anziehungskraft F die zwischen zwei Massen m (Planet) und M (Sonne) besteht,
proportionell zu den Massen ist und umgekehrt proportionell zum Quadrat der
Entfernung r zwischen den beiden Massen. Die Kraft steht folglich auch in
Beziehung zum Produkt dieser drei Termen. So erhalten wir die Gleichung :
FK
mM
r2
1
Die Konstante K heißt universelle Gravitationskonstante. Ihr Wert wurde
erstmals von Henry Cavendish (1731 – 1810) im Jahre 17711 mittels seines
berühmten Torsionswaagenexperiments bestimmt ; der heutige gültige Wert ist
K = 6,67.10 -11 (m 3 kg -1 s -2)
Das zweite Newton´sche Prinzip (Definition der Kraft) liefert uns die
Beschleunigung G, welcher die Masse m durch die Kraft F unterworfen ist :
F  mG
2
Aus den Gleichungen 1 und 2 erhalten wir schließlich folgenden Ausdruck :
GK
M
r2
3
Für Zirkularbewegungen, wie dies bei Planeten (im Modell) ja der Fall ist, ist G
eine Normalbeschleunigung für die gilt :
G  w2  r
4
mit der Winkelgeschwindigkeit w. Setzen wir nun Gl. 3 und Gl. 4 zusammen,
erhalten wir folgenden Ausdruck für die Winkelgeschwindigkeit :
w K
1
M
r3
5
nach Prof. Roland Engfer (Universität Zürich) im Vorlesungsskript Physik A 1. Teil, Seite 18 ; Asimov (siehe
Bibliographie) gibt als Versuchsjahr 1798 an.
Da wir die Periode T unseres Körpers wie folgt in Funktion von w ausdrücken
können
T
2
w
ergibt sich mit 5 schließlich
4 2 3
T 
r
K M
2
ein Ausdruck, der durch geeignetes Umformen die gewünschte Kepler´sche Form
ergibt:
T2
4 2

 const.
r3 K  M
6
4. Bestimmung der Sonnenmasse
Die Gleichung 6 aus Anhang 3 enthält, für den Fall, dass wir als Planeten die Erde
betrachten, lediglich eine Unbekannte, und zwar die Masse M der Sonne. Durch
Einsetzen der einzelnen Größen
T = 365,256 d = 3,156.10 7 s
r = 1,5.10 11 m
K = 6,67.10 -11 m 3 kg -1 s -2
 = 3,1415926…
in die Gleichung 6, erhalten wir den Wert


r 3  4 2
1,5.1011  4  3,1415926
M 

 2,00.10 30 kg
2
2
K T
6,67.10 11  3,156.10 7
3
2


Bibliographie :
 Galileo Galilei, Prozeß ohne Ende, Eine Biographie ; Albrecht
Fölsing ; rororo Rowohlt ; Hamburg 1996
 Astronomie l´encyclopédie ATLAS du ciel Tomes 1 & 8
 Das Weltall, Planeten, Sonnen, Galaxien ; Bertelsmann ; München
1984
 Dtv – Atlas Astronomie ; Joachim Herrmann ; Deutscher
Taschenbuch Verlag ; München 1998
 Autour du Pendule de Foucault ; Societé Astronomique de Liège ;
1993
 Kometen ; Diedrich Möhlmann ; Verlag C.H.Beck ; München 1997
 Comètes, Les archives du ciel ; Ciel et Espace (Numéro spécial 9)
; Paris 1996
 500 000 Jahre Erfindungen und Entdeckungen ; Isaac Asimov ;
Bechtermünz Verlag ; Augsburg 1996
 Skript zur Vorlesung Physik A für Naturwissenschaftler 1. Teil ;
Prof. Roland Engfer ; Physik – Institut der Universität Zürich
1998
 Physique, Terminale S ; J. Mesplède ; éditions Bréal ; 1995
 Mondatlas ; Antonin Rükl ; Verlag Werner Dausian ; Hanau 1999
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