Probeklausur 1

Fachrichtung Physik
Institut für Theoretische Physik
Vorlesung Theoretische Mechanik (Lehramt)
Sommersemester ????
Beispiel für Klausur
1. Aufgabe: Betrachten Sie das Kraftfeld
F⃗ (⃗r) = (αy 2 z 3 − 6βxz 2 )⃗ex + 2αxyz 3⃗ey + (3αxy 2 z 2 − 6βx2 z)⃗ez
mit den Konstanten α und β.
(a) Prüfen Sie, ob F⃗ konservativ ist.
(b) Ein Massenpunkt werde vom Ursprung entlang der x-Achse zum Punkt ⃗r1 = x0⃗ex
verschoben, anschließend parallel zur y-Achse vom Punkt ⃗r1 zum Punkt ⃗r2 = x0⃗ex +y0⃗ey
und schließlich parallel zur z-Achse vom Punkt ⃗r2 zum Punkt ⃗r0 = x0⃗ex + y0⃗ey + z0⃗ez .
Berechnen Sie die Arbeit W , die dabei verrichtet werden muss.
(c) Existiert für das Kraftfeld F⃗ ein Potential? Wenn ja, wie lautet es?
2. Aufgabe: Ein Körper der Masse m bewege sich im Schwerefeld der Erde unter dem Einfluss
Newtonscher Reibung (F⃗R = −αv 2 ⃗vv ).
(a) Stellen Sie die Newtonsche Bewegungsgleichung auf.
(b) Beschränken Sie sich auf eine vertikale Bewegung in z-Richtung und betrachten sie den
Fall, dass der Körper zur Zeit t = 0 mit der Geschwindigkeit ż(t = 0) = 0 zu fallen
beginnt (“Freier Fall mit Newtonscher Reibung”).
Berechnen Sie die Zeitabhängigkeit der Fallgeschwindigkeit ż(t).
(Hinweis: Mögliche Lösung durch Variablentrennung!)
(c) Berechnen Sie für die Anfangsbedingung z(t = 0) = h den Fallweg z(t).
(d) Welche Näherungen gelten für ż(t) und z(t) im Grenzfall kleiner Zeiten t?
Hinweise:
∫
Es könnten Integrale vom Typ
du
c2 −u2
= 1c artanh uc und
∫
Außerdem gelten die Reihenentwicklungen: sinh u = u +
2
ln(1 + u) = u − u2 + . . . .
du tanh(cu) =
u3
3!
1
c
ln | cosh(cu)| auftreten.
+ . . . , cosh u = 1 +
u2
2!
+
u4
4!
+ ... ,
3. Aufgabe: Betrachtet werde ein Bezugssystem Σ′ , das mit ω
⃗ = konstant rotiert und dessen
Ursprung mit dem des Inertialsystems Σ zusammenfällt.
Welche Kraft F⃗ ist erforderlich, damit ein Teilchen mit der Masse m in dem Bezugssystem
Σ′ am Ort ⃗r0 ′ ruht?
Geben Sie explizit Betrag und Richtung dieser Kraft an und interpretieren Sie das Ergebnis.
4. Aufgabe: Berechnen Sie das Trägheitsmoment einer Kugel (Masse m, Radius R) mit homogener Massenverteilung.
Wählen Sie zur Berechnung die z-Achse des Koordinatensystems so, dass sie mit der Rotationsachse zusammenfällt.
Rückseite beachten!!!
5. Aufgabe: Zwei Massen m1 und m2 befinden sich im Schwerefeld der Erde und sind durch
ein über eine Rolle (Radius R) laufendes Seil (Länge L) miteinander verbunden (siehe Abbildung). Rolle und Seil werden als masselos angenommen.
z
m1
m2
(a) Formulieren Sie die (holonomen) Zwangsbedingungen.
(b) Stellen Sie die Lagrange-Gleichung erster Art auf.
(Betrachten Sie dabei nur die Bewegung in z-Richtung)
(c) Bestimmen Sie die Beschleunigung z̈1 (t).
⃗ 1 und Z
⃗2.
(d) Berechnen Sie die Zwangskräfte Z
6. Aufgabe: Gegeben sei ein ebenes mathematisches Pendel (Pendellänge L, Masse m), dessen
Aufhängepunkt von außen gemäß der Funktion f (t) in horizontaler Richtung bewegt wird
(in der Pendelebene).
(a) Wie lauten kinetische und potentielle Energie für das Pendel in kartesischen Koordinaten?
(b) Wählen Sie den Auslenkwinkel φ des Pendels als generalisierte Koordinate und stellen
Sie die Lagrange-Funktion L = L(φ, φ̇, t) auf.
(c) Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Gleichungen zweiter Art die Bewegungsgleichung
für das Pendel.
(d) Betrachten Sie den Fall kleiner Auslenkungen φ und diskutieren Sie qualitativ die Bewegung des Pendels für die beiden Fälle:
(i) Aufhängepunkt des Pendels führt eine gleichförmige horizontale Bewegung aus,
(ii) Aufhängepunkt des Pendels führt eine harmonische horizontale Bewegung f (t) =
f0 cos(Ωt) aus.