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7. Hausübung zur Mechanik
WS 15/16
Maxime Dugave D.10.04 ([email protected])
Raphael Kleinemühl D.10.04 ([email protected])
Abgabe: Donnerstag 10.12.15 in der Vorlesung
Aufgabe 19: Pendel mit beweglicher Aufhängung
Die masselose Aufhängung eines Pendels der Länge ` und Masse m bewege sich reibungsfrei
auf einer Kurve y = f (x), deren Minimum im Koordinatenursprung liege.
y
Bestimme die Lagrangefunktion des Massenpunktes!
Verwende dabei als generalisierte Koordinaten die x-Koordinate
der Aufhängung und den Auslenkungswinkel ϕ des Pendels. Leite die Bewegungsgleichungen ab, und linearisiere sie für den Fall
kleiner Auslenkungen um die Ruhelage! Welche Lösung hat das
linearisierte Problem?
f(x)
ϕ
x
l
m
(6 Punkte)
Aufgabe 20: Bogen und Saite
Eine Masse m, die durch eine Feder an eine Wand gekoppelt sei, bewege sich auf einem Band,
das mit gleichmäßiger Geschwindigkeit v laufe. Der Ort der Masse sei durch die Abweichung q
der Feder von ihrer Gleichgewichtslänge beschrieben. Die Masse wechselwirke mit dem Band
über eine Reibungskraft R(q̇), die sich qualitativ wie in der Skizze angegeben verhalte. Die
Bewegungsgleichung der Masse ist dann
mq̈ = R(q̇) − mω 2 q
.
Berechne die Auslenkung q0 im stationären Zustand (q̇ = 0), und untersuche die Stabilität
des stationären Zustandes!
.
R(q )
m
v
.
q
v
(6 Punkte)
Aufgabe 21: CO2 -Molekül
Ein CO2 -Molekül wird durch folgende Lagrangefunktion beschrieben:
L = m(ẋ21 + ẋ23 ) + M ẋ22 + m(ẏ12 + ẏ32 ) + M ẏ22 − K(x2 − x1 )2 − K(x3 − x2 )2 − λl2 δ 2
δ
=
(y1 − 2y2 + y3 )/l
,
.
Berechne die Eigenfrequenzen und Normalmoden ohne direkte Verwendung des Impuls- und
Drehimpulssatzes! Wieviele Freiheitsgrade hat das System und welche? Diskutiere das Ergebnis!
(6 Punkte)