Theoretische Mechanik (SS 10)

Theoretische Mechanik (SS 10)
Übung VI (Besprechung: 25/26.05.10)
1. Stoßdämpfer
Auf eine Serienanordnung von Stoßdämpfer (Dämpfungskonstante R), Feder (Federkonstante k) und Masse m wirkt die Kraft F (t) = Fω cos(ωt).
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für x und x1 auf unter der Annahme, dass
Feder und Stoßdämpfer masselos sind, und lösen Sie die Bewegungsgleichung
für x.
Hinweis: Es kann hilfreich sein für die x1 Koordinate eine andere Masse
mit m1 = 0 einzuführen und die Bewegungsgleichung für ”beide” Massen
aufzustellen.
(b) Geben Sie Amplitude und Phasenverschiebung an, und diskutieren Sie die
Grenzwerte ω → 0, ∞ und R → 0, ∞.
R
k
m
F(t)
x1
x
2. Corioliskraft
Auf einem Platz mit der geographischen Breite φ0 = 50◦ steht ein Turm der Höhe
h = 378 m. Der ebene Platz stelle die x0 -,y 0 -Ebene, der Turm die z 0 -Achse von
Bezugssystem B 0 dar. Berechnen Sie in B 0 unter Berücksichtigung der Erdrotation
ω
~ , wieweit ein vom Turm frei fallender Körper (~g in z 0 -Richtung) der Masse m mit
der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 neben der Lotrechten aufschlägt. Verifizieren
Sie das Ergebnis, indem Sie den freien Fall in einem Inertialsystem behandeln.
Hinweis: Rechnen Sie approximativ für g À |~ω ||ẋ0 | und |ż 0 | À |ẏ 0 |, wobei y 0
Richtung Norden und x0 Richtung Osten zeigen. |~ω |2 -Terme können vernachlässigt
werden.
3. Rakete
Eine Rakete der Nutzlast M0 und der Treibstoffmasse m0 wird senkrecht von der
Erdoberfläche gestartet (Annahme: konstante Erdbeschleunigung g). Eine konstante Menge von Treibgasen wird pro Zeiteinheit mit konstanter Geschwindigkeit
u0 = 2,1km/s relativ zur Rakete ausgestoßen. Zeigen Sie, dass für eine aus der
Ruhe startende Rakete, die einen Massenverlust von 1/60 der Anfangsmasse pro
Sekunde erfährt, und die die Fluchtgeschwindigkeit (vfl ≈ 11,2km/s) erreichen
soll, das Gewichtsverhältnis von Treibstoff zu leerer Rakete fast 300 betragen
muss.
Hinweis: Begründen und integrieren Sie m dv
= −v0 dm
− mg.
dt
dt
4. D’Alembert
Der Aufhängepunkt eines mathematischen Pendels wird senkrecht zur Erdbeschleunigung mit einem festen Zeitprogramm s(t) bewegt. Bestimmen Sie die
Bewegungsgleichung des Pendels mit Hilfe des d’Alembert’schen Prinzips für allgemeine s(t). Wie lautet diese für kleine Auslenkungen?
s(t)
(t)
g
l
m