Blatt 2/16.5.

Universität Regensburg
SoSe 2011
Dr. Sara Collins, Martin Decker, Benjamin Gläßle, Ludwig Greil,
Michael Knödlseder, Sebastian Schierenberg, Dr. André Sternbeck, Dr. Enno E. Scholz
Übungen zu “Theoretische Physik Ia—Klassische Mechanik”
Blatt 2 (für die Übungen in der Woche 16.5.–22.5.2011)
Aufgabe 1
Vektorielle Differentialoperationen
a) Der Gradient grad Φ(x0 , y0 , z0 ) eines Skalarfelds Φ(~r) an der Stelle ~r0 = (x0 , y0 , z0 ) ist ein
Vektor, der in die Richtung des stärksten Anstiegs von Φ zeigt. Sein Betrag gibt die Änderung von Φ pro Weglänge in Richtung des stärksten Anstiegs im Punkt ~r0 an.
∂Φ(~r)
∂Φ(~r)
∂Φ(~r) ∇Φ(x0 , y0 , z0 ) ≡ grad Φ(x0 , y0 , z0 ) = x̂
+ ŷ
+ ẑ
∂x
∂y
∂z
~
r =~
r0
Berechnen sie den Gradienten folgender Skalarfelder:
i) Φ(~r) = r, wobei r = |~r|
ii) Φ(~r) =
1
r
iii) Φ(~r) = ln(r)
b) Die Rotation (in kartesischen Koordinaten)
3
X
∂Fy
∂Fy
∂Fz
∂Fx ∂Fz
∂Fx
~
~
ǫijk êi ∂j Fk ≡ rot F = x̂
+ ŷ
+ ẑ
−
−
−
∇×F ≡
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
i,j,k=1
eines Vektorfelds F~ (~r) sagt etwas über “Wirbel” (geschlossene Kurven) im Vektorfeld F~
aus. Dies kann man sich anhand der koordinatenfreien Darstellung verdeutlichen:
n̂ · rot F~ =
1
∆A→0 ∆A
lim
I
d~r · F~
δ(∆A)
wobei n̂ der Normaleneinheitsvektor der Fläche ∆A ist und das geschlossene Linienintegral
entlang des Randes δ(∆A) dieser Fläche ausgeführt wird. Dies führt unter anderem auch
auf den Integralsatz von Stokes für ein Flächenintegral über die Fäche A mit geschlossenem
Rand δ(A):
Z
~ · rot F~ =
dA
A
I
d~r · F~
δ(A)
Berechnen sie die Rotation folgender Vektorfelder:


x
i) F~ (~r) = ω  −y 
0


8xy − 3z 2
ii) F~ (~r) =  4x2 + 3z 2 
6z(y − x)
iii) Zeigen sie ferner, dass ein Gradientenfeld wirbelfrei ist, d.h., rot grad Φ = 0 für beliebige
Skalarfelder Φ.
1
Aufgabe 2
Konservative Kräfte und Potentiale
a) Zeigen Sie, dass rot F~ = 0 eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass ein
Potential U existiert mit F~ = − grad U . Hinweis: benützen Sie Angaben bzw. Resultate aus
der vorherigen Aufgabe und beachten Sie, dass die Existenz eines Potentials gleichbedeutend
mit der Wegunabhängigkeit der Arbeit, geleistet gegen die Kraft, ist.
b) Zu welchen der folgenden Kräfte kann ein Potential angegeben werden bzw. handelt es sich
um konservative Kräfte? Bestimmen Sie für diese das Potential.
F~1 (~r) =
~r
r3


2x
F~2 (~r) =  −2yz 
−y 2
F~3 (~r) = ŷ × ~r
Aufgabe 3
Keplerproblem: Lenzscher Vektor und Flächensatz
Der Lenzsche Vektor
~
~ = m ~r˙ × (~r × ~r˙ ) − ~r = p~ × L − ~r
Λ
α
r
αm
r
ist eine Erhaltungsgröße von Bahnen ~r(t) in Potentialen der Form U (r) = −α/r
~ . . Drehimpuls).
(α = const., m. . . Teilchenmasse, L.
Zeigen sie, dass
~˙ = 0,
~ in der Tat erhalten ist, d.h. Λ
a) Λ
~ gleich der Exzentrizität ǫ der Bahn ist.
b) Λ = |Λ|
~ zeigt zum Perihel der Bahnkurve, d.h. dem Punkt der Bahnkurve, der dem
c) (Zusatz ) Λ
~ · ~r = ǫρ cos ϕ.
Kraftzentrum am nächsten ist, also Λ
d) Folgern Sie aus dem Flächensatz das 2. und 3. Keplersche Gesetz.
Aufgabe 4
Rakete
Man betrachte eine Rakete, deren totale Masse M (t) = m0 + mg (t) sich aus der zeitlich konstanten Masse m0 der Rakete und der zeitabhängigen Masse mg (t) des Treibstoffgasses zusammensetzt. Die Rakete stößt einen Strom von heissem Gas mit der zeitlich konstanten Geschwindigkeit
(relativ zur Rakete) von vr nach hinten aus, mit einer Rate dmg /dt < 0. Der Rückstoß des Gases
übt auf die Rakete eine Schubkraft aus. Alle andere Kräfte können (fern aller Himmelskörper)
vernachlässigt werden.
a) Stellen sie eine Bewegungsgleichung der Rakete unter der Verwendung des dritten Newton’schen Axiomes auf.
b) Nehmen sie an, dass das Gas mit einer im Intervall 0 ≤ t ≤ τ konstanten Rate vollständig
ausgestoßen wird. Bringen sie die Bewegungsgleichung aus (a) in die Form
dv(t)
vr
=
dt
τ̄ − t
(1)
und finden sie τ̄ .
c) Berechnen sie v(t) und x(t) mit den Anfangsbedingungen v(0) = 0, x(0) = 0.
Hinweis: Formen sie dafür Gleichung (1) mit Hilfe einer sogenannten Variablentrennung um.
2