Pv Pv Pv % Pdv

Die Geschwindigkeit einer Rakete
3v
m + dm
dm
3v ô
3
3v ø dv
m
Eine Rakete besitze zu einem Zeitpunkt t die Masse m + dm und den Betrag v der Geschwindigkeit, zum
Zeitpunkt t + dt, also um die Zeit dt später hat die Rakete die Masse dm (Gase) mit der Austrittsgeschwindigkeit u abgestoßen, die Restmasse m erfährt dadurch einen betragsmäßigen Geschwindigkeitszuwachs dv.
( m - dm ) # v = m # ( v + dv ) + dm # v' ,
Im Inertialsystem gilt nach Impulssatz:
wobei zu beachten ist, dass wegen m'(t) < 0 und dt > 0 gilt: dm < 0 bzw - dm > 0 ; - und v' := u - v !
1. Lösung:
Aus obiger Gleichung ergibt sich:
÷ dm
# u ö dv , wobei zu beachten ist, dass m eine
m
zeitabhängige Größe ist!
t
t
t0
t0
÷ dm dt
dv
u#
#
ö
#dt
P m ( t ) dt P dt
@
t
÷u#
m ô(t)
# dt ö v ( t ) ÷ v ( t0 )
P m(t)
t0
@
÷ u # ln m ( t ) ÷ ln m ( t0 )
@
ö v ( t ) ÷ v ( t0 )
v ( t ) ö v ( t0 ) ÷ u # ln
m(t)
m ( t0 )
;
÷g#t
- g#t muß bei Wirken des Gravitationsfeldes der Erde in der Nähe der Erdoberfläche noch addiert werden.
Die Geschwindigkeit einer Rakete
2. Lösung:
Führt man die von der Bauart des Raketenmotors abhängige Größe des Schubs S ein, der
dm
definiert ist als: S :ö ÷ u #
, so ergibt sich leicht, in Abhängigkeit von dieser Größe als
dt
S
Gleichung für die zeitabhängige Masse: m ( t ) ö ÷ # t ø m ( t0 ) .
u
dv
S
S
ö
ö
dt
m(t)
m ( t0 ) ÷
Die Ausgangsgleichung ergibt nun:
S
u
ö
# t
S
# t
u
v ( t ) ö ÷ u # ln m ( t0 ) ÷
Durch Integration erhält man:
ö v ( t0 ) ÷ u # ln 1 ÷
÷S
u
m ( t0 ) ÷
S
u
# t
# (÷u)
ø u # ln m ( t0 ) ø v ( t0 )
S
#t
u # m ( t0 )
Bei der 2. Art der Lösung ist natürlich der Zeitpunkt t7 interessant, wobei: t7 :ö
u # m ( t0 )
S
ist! - Wie groß
sind Masse und erreichte Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt?
Möchte man eine minimale Nutzlast mmin befördern, so ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit vmax:
m0
vmax ö v0 ø u # ln
.
mmin
Für die Saturn V - Rakete galt:
u ö 5000
und für die Apollo-Raumfähre (mmin):
mmin = 1% # m0.
m
s
Berechne die maximal erreichbare Geschwindigkeit der Apollo-Raumfähre (ohne Berücksichtigung des
Gravitationsfeldes), wenn wir von einer Anfangsgeschwindigkeit (Start): v0 ö 0 m ausgehen.
s
Zur Fluchtgeschwindigkeit (aus dem Erdfeld):
Fluchtbedingung:
m
2
# v 2 ÷ é # m#M ö 0 ;
R
EKIN ö
<
m
2
v ö
#v 2 ;
2#é#M
R
EPOT ö ( ÷ ) é # m # M
r
ö
2#R#g.
(Bei der letzten Umformung wurde verwendet, dass auf der Erdoberfläche gilt: m # g ö é # m # M
!)
2
R
Berechne die Fluchtgeschwindigkeit und vergleiche mit vmax der Apollo-Raumfähre!