Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik

Aufgaben
Nr.1 [14 Punkte]
Die Sitze eines Karussells sind an Ketten befestigt. Dabei darf angenommen werden, dass sich die Aufhängepunkte der Ketten in der
Drehachse befinden. Die Distanz vom Aufhängepunkt zum Schwerpunkt am Ende eines Karussellarms beträgt zehn Meter.
a) Ermitteln Sie das Verhältnis der Kraft FZ in radialer Richtung
zur Gewichtskraft FG als Funktion der Winkelgeschwindigkeit.
[2 Punkte]
b) Die Ketten des Karussells sind um 30 gegenüber der Vertikalen
ausgelenkt. Wie gross ist die Bahngeschwindigkeit des Schwerpunkts? [4 Punkte]
c) Wie viele Runden dreht das Karussell während einer Fahrt von
zwei Minuten Dauer bei einer Bahngeschwindigkeit von 5 m/s?
[2 Punkte]
d) In welchem Verhältnis steht die Belastung der Kette während
der Fahrt bei einer Bahngeschwindigkeit von 5 m/s zu jener im
Ruhezustand? [3 Punkte]
e) Als besondere Attraktion können im Betrieb mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit die Ketten beliebig verlängert werden.
Zeigen Sie formal, dass der vertikale Abstand vom Schwerpunkt
des Karussellarms zum Aufhängepunkt nicht von der Länge der
Kette abhängt. [3 Punkte]
Nr.2 [17 Punkte]
a) Ein Tank enthalte 1000 Liter Wasser, in welchem 100 kg Salz
gelöst sind. Vom Zeitpunkt t=0 an sollen pro Minute 10 Liter
der Lösung ausfliessen, aber auch 10 Liter Wasser mit einem
Salzgehalt von 3 kg zufliessen. Ein Rührgerät mische fortwährend das Ganze vollständig durcheinander. Wie gross ist der
Salzgehalt f (t) im Tank zum Zeitpunkt t? [8 Punkte]
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b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f (t). [2 Punkte]
c) Lösen Sie die Teilaufgabe a) für den Fall, dass nun pro Minute
20 Liter Wasser mit einem Salzgehalt von 6 kg zufliessen. Gehen
Sie davon aus, der Tank sei so gross, dass er nicht überläuft.
[7 Punkte]
Nr.3 [14 Punkte]
Ein Meteor, der - theoretisch gesehen - in unendlicher Entfernung
ruhte, gelangt in unser Sonnensystem.
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Meteors, die er aufgrund
der Beschleunigung durch die Sonne hat, wenn er die Umlaufbahn der Erde um die Sonne erreicht hat. [3 Punkte]
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn um
die Sonne. [3 Punkte]
c) Berechnen Sie aus den beiden Geschwindigkeiten die Maximalgeschwindigkeit, mit welcher der Meteor aus Sicht eines Beobachters auf der Erde in die Erdatmosphäre eindringt.
[2 Punkte]
d) Welche kinetische Energie hat ein Meteor mit einer Masse von
1 kg, wenn er sich mit dieser Maximalgeschwindigkeit zur Erde
hin bewegt? [2 Punkte]
e) Welche kinetische Energie erfährt ein Meteor beim Fall auf die
Erde allein als Folge seines Potentials im Gravitationsfeld der
Erde? [2 Punkte]
f) Vergleichen Sie die Beiträge der Energien, die Sie in den Teilaufgaben d) und e) berechnet haben, miteinander. [2 Punkte]
Nr.4 [10 Punkte]
Bestimmen Sie mithilfe einer Konstruktion die sphärische Distanz
zwischen Zürich (47.5 n.B., 8.5 ö.L.) und Buenos Aires (34.6 s.B.,
58.4 w.L.). Berechnen Sie anschliessend die Entfernung zwischen
Zürich und Buenos Aires.
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Nr.5 [11 Punkte]
Ein Motor trage die Aufschrift 230 V, 50 Hz, 20 A, cos φ = 0.8.
a) Berechnen Sie die effektiv umgesetzte Leistung und den Scheinwiderstand des Motors. [3 Punkte]
b) Berechnen Sie den induktiven Widerstand und die Induktivität
der Motorentwicklung. [3 Punkte]
c) Durch Serieschaltung eines Kondensators soll der Blindstrom
kompensiert werden. Wie gross muss die Kapazität des Kondensators gewählt werden? [3 Punkte]
d) Bestimmen Sie den Wirkstrom bei Kompensation des Blindstroms. [2 Punkte]
Nr.6 [15 Punkte]
Bekanntlich lässt sich jede 2×2-Matrix als Produkt DSV einer Dre
1 cot α
cos φ − sin φ
, einer Scherung S =
hung D =
0
1
sin φ cos φ
a 0
und einer Streckung V =
schreiben, welche gegebenenfalls
0 b
eine Spiegelung beinhaltet.
a) Berechnen Sie die Eigenvektoren der Matrizen S und V .
[6 Punkte]
b) Bestimmen Sie mithilfe einer Rechnung die Winkel φ, für welche die Matrix D reelle Eigenwerte besitzt. [6 Punkte]
c) Bilden Sie das Produkt DSV und bestimmen Sie dessen Determinante. [3 Punkte]
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Nr.7 [7 Punkte]
Der nächste Fixstern ist Alpha-Centauri am südlichen Sternhimmel.
Seine Entfernung beträgt 4.5 Lichtjahre.
a) Wie lange braucht ein utopisches Raumschiff, dessen Geschwindigkeit aus Sicht eines Beobachters auf der Erde 0.9 c beträgt,
um zum Stern und wieder zurück zur Erde zu gelangen?
[3 Punkte]
b) Wie lange würde der Flug für die Astronauten an Bord des
Raumschiffs dauern? [2 Punkte]
c) Das erste Raumschiff ist schon wieder auf dem Rückflug zur
Erde. Ein zweites Raumschiff fliegt von der Erde mit einer Geschwindigkeit von ebenfalls 0.9 c weg. Die beiden Raumschiffe
kreuzen sich. Welche Geschwindigkeit messen die Raumfahrer
für das jeweils andere Raumschiff? [2 Punkte]
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