Serie 10 - D-MATH

D-HEST,
Prof. Dr. E. W. Farkas
R. Bourquin und M. Sprecher
Mathematik III
HS 2015
Serie 10
1. Laplace-Transformation einer periodischer Funktion
Sei f die 1-periodische Funktion mit f (t) = 1 − t für 0 ≤ t < 1. Berechnen Sie die
Laplace-Transformation von f .
2. Rücktransformation
Berechnen Sie L−1 (F ) für folgende Funktionen F
a)
1
s2 (s2 +1)
b)
3s2 −3s+1
s3 −2s2 +s
3. Differentialgleichung 1. Ordnung
Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
y 0 + y = (1 + t)et , y(0) =
1
4
mittels Laplace-Transformation.
Bitte wenden!
4. Differentialgleichung eines Pendels
Wir betrachten die Klasse von Differentialgleichungen:
my 00 (t) + f y(t) = K(t)
mit Anfangsbedingungen y(0) = y0 und y 0 (0) = v0 , deren Lösungen y(t), t ≥ 0,
die Bewegung eines Federpendels der Masse m > 0 beschreiben, das an einer Feder
der Federkonstante f > 0 hängt und der äusseren Kraft K(t) ausgesetzt ist. Hier
beschreibt y0 die Anfangsauslenkung q
und v0 die Anfangsgeschwindigkeit des Pendels.
f
einzuführen, die so genannte Eigenfrequenz
Es ist zweckmässig, die Grösse ω0 := m
des Pendels. Bestimmen Sie y(t) in folgenden Fällen mittels Laplace-Transformation:
a) Keine äussere Krafteinwirkung: K(t) ≡ 0. (Siehe auch Serie 8 Aufgabe 4)
b) Periodische Anregung K(t) = K cos(ωt), für fixe K, ω > 0, und mit y0 = v0 = 0.
Unterscheiden Sie hierbei die Fälle ω 6= ω0 und ω = ω0 (Resonanzfall).
c) Sei K, τ > 0 und:
(
K
K(t) =
0
für t ≤ τ
für t > τ
mit y0 = v0 = 0 eine konstante äussere Anregung der Dauer τ .
Abgabetermin: 1.12.2015.