Aufgabenblatt 4

Aufgabe 11: Stabhochsprung
Der Weltrekord im Stabhochsprung der Männer wird zurzeit durch Serhji Bubka (Größe
1.83m, Gewicht m = 80kg ) mit 6.14m gehalten. Schätzen Sie die kinetische Energie und die
Geschwindigkeit ab, die dieser Sportler bei seinem Sprung benötigte. Neben Sie an, dass sich
der Massenmittelpunkt anfangs 0.90m über dem Boden befindet und seine maximale Höhe in
Höhe der Latte erreicht.
Wir setzen die Gesamtenergie, unmittelbar bevor der Springer das Ende des Stabes auf dem
Boden aufsetzt (und der Stab sich zu biegen beginnt und potenzielle Energie speichert), mit
der Gesamtenergie des Springers beim Überspringen der Latte gleich (wir vernachlässigen die
geringe kinetische Energie in diesem Punkt). Somit gilt
mv 2
mv 2
Ekin + E pot = const. = 1 + m ⋅ g ⋅ y1 = 2 + m ⋅ g ⋅ y2 ,
2
2
wobei v1; y1 = 0.90m die Geschwindigkeit und Höhenposition des Springers unmittelbar vor
m
Aufsetzen des Stabes sind, v2 = 0 ; y2 = 6.14m die entsprechenden Größen beim Übersprins
gen der Latte. Nach Umschreiben ergibt sich
mv12
Ekin =
= m ⋅ g ⋅ y2 − m ⋅ g ⋅ y1 = m ⋅ g ⋅ ( y2 − y1 )
2
sowie
v1 = 2 g ⋅ ( y2 − y1 ) .
Einsetzen der Werte führt zu
m
kg m 2
E kin = 80 kg ⋅ 9 .81 2 ⋅ (6 .14 m − 0 .9 m ) = 80 ⋅ 9 .81 ⋅ 5 .24
≈ 4100 J
s
s2
und
m
m
v1 = 2 ⋅ 9.81 2 ⋅ (6.14m − 0.9m ) ≈ 10 .
s
s
Dieses entspricht extrapoliert auf 100m der Geschwindigkeit eines Weltklasseläufers.
Aufgabe 12: Leistung beim Treppensteigen
Das Empire State Building Run Up ist ein Wettrennen mit dem Ziel, möglichst schnell die
Treppen des Empire State Buildings von Lobby des Gebäudes bis zur ersten Aussichtsplattform hinaufzulaufen (Höhendifferenz 303m). Den Rekord hält gegenwärtig der Australier
Paul Crake mit einer Zeit von 09:33 min. Nehmen Sie an, Paul Crake wiegt 65kg. a) Schätzen
Sie die Leistungsabgabe des Läufers ab. b.) Wie viel Energie ist dafür erforderlich?
a.) Die Arbeit wird gegen die Gravitation verrichtet und ergibt sich zu W = mgh . Weiter entspricht die Zeit von 09:33min umgerechnet 573s. Dann beträgt die durchschnittliche Leistungsabgabe
W mgh 65kg ⋅ 9.8 m s 2 ⋅ 303m 65 ⋅ 9.8 ⋅ 303 kgm 2
=
=
=
= 337 W
P=
573s
573
t
t
s3
b.) Die gesamt erforderliche Energie beträgt E = P t = 337 W ⋅ 573s = 193000J = 1.93 ⋅105 J .
Dieser Wert ist allerdings nur eine untere Abschätzung, da ein erheblicher Energieaufwand
zum Beispiel zur Erwärmung des Körpers führt.
Aufgabe 13: Ballistisches Pendel
Das ballistische Pendel ist eine Vorrichtung zum Messen der Geschwindigkeit eines Geschosses, z.B. einer Kugel. Das Geschoss mit der Masse m wird in einen großen Block (aus Holz
oder einem anderen Material) mit der Masse M, der wie ein Fadenpendel aufgehängt ist, gefeuert. Als Folge des Stoßes schwingt das Pendel-Geschoss-System bis zu einer maximalen
Höhe h. Bestimmen Sie die Beziehung zwischen der horizontalen Anfangsgeschwindigkeit v
des Geschosses und der Höhe h.
Der Prozess kann in zwei Abschnitte aufgeteilt werden:
1.) der Stoß selbst sowie 2.) die nachfolgende Bewegung des Pendels von der vertikalen, hängenden Position bis zur Höhe h. In Teil 1.) nehmen wir an, dass die Stoßzeit zwischen Kugels
und Block sehr kurz ist im Vergleich zur nachfolgenden Bewegung des Pendels und dass Geschoss daher in dem Block zum Stillstand kommt, ehe der Block sich wesentlich aus seiner
Ruheposition bewegt hat. Somit handelt es sich um einen vollkommen inelastischen Stoß, und
mit Impulserhaltung stellen wir fest, dass
mv = (m + M )v' .
Dabei ist m die Kugelmasse, M die Masse des Pendelkörpers, v die Kugelgeschwindigkeit vor
dem Stoß und v’ die Startgeschwindigkeit des Pendels mit der abgebremsten Kugel nach dem
Stoß.
In Teil 2.) der Bewegung kann nun der Energieerhaltungssatz herangezogen werden. Mit
Ekin,t1 + E pot ,t1 = Ekin,t 2 + E pot ,t 2 = const.
lässt sich somit für die Zeitpunkte t1 – Beginn der Bewegung nach dem Stoß aus der Ruhelage – und t2 – höchste Auslenkung des Pendels – die Energieerhaltung schreiben als
1
(m + M )v'2 +0 = 0 + (m + M )gh .
2
Umformung ergibt sofort
v'= 2 gh
Somit lässt sich aus der Impulserhaltung schreiben
m+M
m+M
v=
v' =
2 gh
m
m