Aufgabenblatt 2

Physikdepartment E13
WS 2008/09
Übungen zu Experimentalphysik 1 für MW
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Alexander Diethert,
Matthias Ruderer, Robert Meier, Tilo Hoppe, Wolfgang Schmid
Vorlesung 30.10.2008, Übungswoche 3.11.–7.11.2008
Blatt 2
1. Mathematisches Pendel
Wir betrachten das in der Vorlesung vorgestellte mathematische Pendel. Mit Kleinwinkelnäherung
lautet die Bewegungsgleichung in differenzieller Form
d
g
ϕ(t) + ϕ(t) = 0.
2
dt
l
a) Zeigen sie explizit durch Einsetzen in die Differentialgleichung, dass die Funktionen
ϕ(t) = ϕ0 cos(ω0 t + ∆)
ϕ(t) = ϕ0 sin(ω0 t + ∆)
die Differentialgleichungen lösen und zeigen sie, dass
r
g
ω0 =
l
gilt.
b) Wir betrachten nun ein spezielles Pendel mit l = 2 m Pendellänge, an dem eine Punktmasse
π
von M = 100 g hängt. Das Pendel soll sich zum Zeitpunkt t = 0 am Ort ϕ(0) = 20
befinden
und eine Anfangsgeschwindigkeit ϕ̇(0) = 0 haben. Berechnen Sie für beide Ansätze aus
Teilaufgabe a jeweils die Parameter ϕ0 und ∆.
π
eine Winkelgeschwindigkeit von ω = ϕ̇ =
c) Das gleiche Pendel habe nun am Ort ϕ = 30
−
1
0.5 s . Welche Gesamtenergie steckt im System?
d) Geben Sie eine mögliche Gleichung für die Bewegung aus Aufgabe c an. Die Wahl des
Zeitpunktes t = 0 liegt bei Ihnen.
e) Für eine konkrete Anwendung des Pendels muss die Schwingungsdauer verdoppelt werden.
Was müssen Sie an der Konstruktion des Pendels ändern, um dieses Ziel zu erreichen?
2. Basejumper
Ein Basejumper will vom Gipfel eines Berges im freien Fall hinunterspringen, um dann 100 m über
dem Boden seinen Fallschirm zu öffnen und dann sicher zu landen. Er selbst wiegt 75 kg und
seine Ausrüstung (Fallschirm, etc.) wiegt 20 kg. Den Gipfel erklimmt er auf einem 5 km langen
Wanderweg mit einer durchschnittlichen Steigung von α = 10◦ . Er landet an der selben Stelle, an
der er auch losgelaufen ist.
a) Um wieviel erhöht er seine potentielle Energie durch die Wanderung? Und woher nimmt er
diese Energie?
b) Sein Körper hat einen Wirkungsgrad von 20%. Das bedeutet, von 100 J innerer, chemischer
Energie werden 20 J in mechanische Energie und 80 J in Wärme umgewandelt. Wie viel
Energie verbraucht er beim Anstieg?
c) Welche Geschwindigkeit hat er zum Zeitpunkt des Öffnens seines Fallschirms? Die Luftreibung soll hierbei vernachlässigt werden.
3. Duschvorhang
Sie hängen Ihren Duschvorhang an einem modernen Kunststoffseil auf, das quer durch Ihr Badezimmer gespannt ist. Dieses zeigt keinerlei Längenausdehnung. Der Abstand der gegenüberliegenden Wände, zwischen denen das Seil gespannt ist, beträgt L = 4,50 m.
a) Berechnen Sie die Kraft FD , die auf die beiden Dübel axial (also senkrecht zur Wand) wirkt,
wenn in der Mitte des Seils eine Kraft von F = 50 N (die also einem Gewicht von etwa 5 kg
entspricht) nach unten wirkt. Das Seil hängt in der Mitte d = 1 cm durch (Zeichnung nicht
maßstäblich).
L
d
~F
b) Sie haben kein Vertrauen, ob die Dübel genug Halt in den Wänden haben und möchten deren
Belastung signifikant veringern.
Welche Maßnahmen sind hierfür geeignet?
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4. Bahn eines Teilchens
Die Bahn eines punktförmiges Teilchen der Masse M ist durch einen Ortsvektor ~r (t) gegeben,
der von der Zeit t abhängt. In Zylinderkoordinaten lautet die Bahn des Teilchens:
r (t) = 4
π
Φ(t) = · t
3
z(t) = 3 · t
Der Winkel Φ ist im Bogenmaß gegeben, die Koordinaten r bzw. z in Metern. Die Bewegung startet
zum Zeitpunkt t = 0.
a) Beschreiben Sie die Bahn, die das Teilchen beschreibt. Fertigen Sie dazu eine Skizze an.
b) Nach wie vielen Sekunden hat das Teilchen wieder dieselbe x- und y- Koordinate wie zu
Beginn der Bewegung?
c) Geben Sie die Position des Teilchens nach 1 Minute in Kugelkoordinaten an.
d) Wie lautet der vektorielle Ausdruck für die Geschwindigkeit ~v(t) = ~r˙ (t) in kartesischen Koordinaten? Geben Sie diesen zunächst in der allgemeinen Form und danach für die gegebene
Bahngleichung an.
e) Geben Sie den Betrag des Geschwindigkeitsvektors in allgemeiner Form an. Wie hoch ist der
Betrag der Geschwindigkeit nach 10 Sekunden und nach 20 Sekunden?
f) Wie lautet der allgemeine vektorielle Ausdruck für die Beschleunigung ~a(t) = ~r¨(t) in kartesischen Koordinaten?
g) Berechnen Sie die Beschleunigung nach 10 Sekunden und nach 20 Sekunden und klären Sie
den vermeindlichen Widerspruch zur Teilaufgabe e.
h) Wie lautet die kinetische Energie Ekin (t) des gegebenen Teilchens?
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