Ubungsblatt 10 - Institut für Theoretische Physik
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Theoretische Physik III für Lehramt Universität Heidelberg Sommersemester 2017 Prof. Dr. T.Plehn Junior-Prof. Dr. S. Westhoff Übungsblatt 10 Abgabe am 4. 7. 2017 Diskussion am 11. 7. 2017 Martin Bauer ([email protected]) Aufgabe 30: (4 Punkte) Der quantenmechanische Ausdruck für den Hamilton-Operator für ein Teilchen mit Masse m wird geschrieben wie im klassischen Fall, nur dass die kanonischen Observablen in Operatoren übersetzt werden Ĥ = p̂2 + V (x̂) . 2m a) Schreiben Sie die Schrödinger-Gleichung i d |ψi = − Ĥ|ψi dt ~ in der Ortsdarstellung. b) Zeigen Sie, dass die Entwicklung des Zustandes |pi unter dem oben gegebenen HamiltonOperators mit V (x) = 0 gegeben ist durch ψp (x, t) = √ p p2 1 ei ~ x−i 2m~ t . 2π~ Finden Sie die Phasengeschwindigkeit der Welle, die durch diese Funktion beschrieben wird. Hinweis: Die Phasengeschwindigkeit ist gegeben durch vph = λdB /T = ω/k, wobei λdB die de-Broglie Wellenlänge ist und k = p/~ die Wellenzahl. Aufgabe 31: Nehmen Sie an, eine Wellenfunktion bei t = 0 hat eine Gauss’sche Form ψ(x, t = 0) = (8 Punkte) (x−a)2 p x 1 i 0~ − 2d2 e e . (π d2 )1/4 a) Finden Sie die zugehörige Impulsdarstellung ψ̃(k, 0) und berechnen Sie die Zeitevolution unter Anwendung des Hamilton-Operators für ein freies Teilchen (V (x) = 0). b) Berechnen Sie ψ(x, t) in der Ortsdarstellung. Hinweis: Schreiben Sie k = k0 +δk und führen Sie die Fourier Transformation bzgl. δk durch und verwenden Sie die Eigenschaften der Fourier Transformation für Funktionen mit geshiftetem Argument. 2 c) Zeigen Sie, dass der Mittelwert der Position hxi und seine Varianz h∆x2 i gegeben ist durch: ! 2 2 2 ~ t d 1+ 2 4 hxi = hp0 /mit , h∆x2 i = 2 md Aufgabe 32: (4 Punkte) Die Entwicklung des Gauss’schen Wellenpaketes aus der letzten Aufgabe besteht aus 3 Änderungen gegenüber der Wellenfunktion bei t = 0: 1. Eine Multiplikation mit einer Phase, 2. Eine Translation mit effektiver Geschwindigkeit v = p0 /m und 3. Einer Ausdehnung im Raum. Abgesehen von dieser Ausdehnung ändert sich seine Form nicht. a) Nehmen Sie an, dass p0 sehr viel größer wird als die Impulsunischerheit des ursprünglichen Wellenpaketes. Zeigen Sie, dass die Distanz die das Zentrum des Wellenpaket während der Zeit t wandert dann viel größer ist als die Ausdehnung. b) Schätzen Sie ab, wie lange ein Elektron mit einer Impulsunsicherheit von 1 Å braucht, um sich über eine Länge von 1 mm auszudehnen.
