Theoretische Physik D – Quantenmechanik I

Stand: 17. Mai 2010 9:00
Institut für Theoretische Physik der Universität Karlsruhe
Prof. Dr. M. Mühlleitner, Dr. H. Sahlmann
Theoretische Physik D – Quantenmechanik I
Sommersemester 2010
Übungsblatt 6
Abgabe am 25.5.2010, 10:00
Name:
Übungsgruppe:
Punkte:
Hinweis: Abgabeschluss für dieses Blatt ausnahmsweise Dienstag der 25. Mai, da der 24. Mai
ein Feiertag (Pfingstmontag) ist.
Aufgabe 14 - Hermite-Polynome (7 Punkte)
In dieser Aufgabe betrachten wir die Hermite-Polynome Hn (z), n ∈ N. Hn (z) ist ein Polynom
vom Grad n und kann wie folgt definiert werden: Sei f(z) = exp(−z2 ), dann setzt man
dn
f(z) = (−1)n Hn (z)f(z).
dzn
(1)
(a) Zeigen Sie, dass
Hn (z) =
d
2z −
Hn−1 (z)
dz
und dass Hn (−z) = (−1)n Hn (z).
(2)
(2 Punkte)
(b) Zeigen Sie, dass exp(−t2 + 2tz) die Erzeugende Funktion der Hermite Polynome ist, in
dem Sinne dass
dn 2
Hn (z) =
e−t +2tz .
(3)
dtn t=0
Hinweis: Taylorentwicklung von f(t + z) um z.
(ein Punkt)
(c) Beweisen Sie die folgenden Rekursionsrelationen:
d
Hn (z) = 2nHn−1 (z),
dz
(4)
Hn (z) = 2zHn−1 (z) − 2(n − 1)Hn−2 (z).
Hinweis: Verwenden Sie die Erzeugende Funktion.
(ein Punkt)
(d) Zeigen Sie, dass die Hermite-Polynome die folgende Differentialgleichung lösen:
!
d2
d
− 2z
+ 2n Hn (z) = 0.
dz2
dz
(5)
(ein Punkt)
(e) Zeigen Sie
Z∞
2
dz Hm (z)Hn (z)e−z = 0
für m 6= n.
(6)
−∞
Hinweis: Multiplizieren Sie (5) von links mit exp(−z2 )Hm (z) und integrieren Sie. Vertauschen Sie m und n und ziehen Sie das Ergebnis
ab. Vereinfachen Sie. Auf ähnliche Weise
R
√
kann übrigens auch gezeigt werden, dass dz H2n (z) exp(−z2 ) = π2n n!.
(2 Punkte)
1
Aufgabe 15 - Teilchen in einem Magnetfeld (5 Punkte)
In dieser Aufgabe betrachten wir ein Teilchen in einem Magnetfeld.
(a) Zunächst betrachten wir die klassische Theorie: Ausgehend von der Lagrangefunktion
1
q ~
L = m~v2 + ~v · A(~
x)
2
c
(7)
~ =∇
~
~ × A,
(mit ~v = ~x˙ ) für ein Teilchen der Masse m mit Ladung q in einem Magnetfeld B
~ gegeben ist, und die
zeigen Sie, dass der zu ~x konjugierte Impuls durch ~p = m~v + q/c A
Hamilton-Funktion
1 q ~ 2
~p − A
H=
(8)
2m
c
lautet.
(2 Punkte)
Man erhält die Quantentheorie des Teilchens im Magnetfeld, indem man ~x und ~p wie gewohnt
durch Operatoren ersetzt, die die kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen.
(b) Bestimmen Sie den Operator, der der Geschwindigkeit ~v des Teilchens entspricht, und berechnen Sie den Kommutator [vi , vj ] in der Ortsdarstellung. Was stellen Sie fest? (ein Punkt)
~ = (0, 0, B0 ) in z-Richtung kann man A
~ =
(c) Für den Fall eines konstanten Magnetfeldes B
(−yB0 , 0, 0) wählen (“Landau-Eichung”). Bestimmen Sie für diesen Fall den Hamiltonoperator und zeigen Sie, dass dieser mit der x- und z-Komponente des Impulses ~p vertauscht.
(ein Punkt)
(d) Noch immer für den Fall des konstanten Magnetfeldes, stellen Sie die stationäre Schrödingergleichung (Energie E) für die Wellenfunktion ψ(x, y, z) auf. Machen Sie einen Produktansatz ψ(x, y, z) = exp(ip0 x/h̄)χ(y) (warum?) und finden Sie die Wellengleichung
für χ(y). Was können Sie über die Energieniveaus des Systems sagen?
(ein Punkt)
Aufgabe 16 - Observablen und Projektoren (3 Punkte)
Wir betrachten ein Teilchen in einer Dimension, dessen Zustand durch eine Wellenfunktion
ψ(x) beschrieben wird. Nun wird eine Messung durchgeführt. Das Messgerät ist so konstruiert,
dass es genau dann ausschlägt, wenn sich das Teilchen in einem bestimmten Intervall I auf der
reellen Achse befindet.
(a) Konstruieren Sie die zu dieser Messung gehörende Observable.
(ein Punkt)
(b) Leiten Sie aus den Postulaten der Quantenmechsnik eine Formel für die Wahrscheinlichkeit her, das Teilchen bei der Messung im Intervall I zu finden.
(ein Punkt)
(c) Angenommen, bei der Messung findet man, dass sich das Teilchen nicht im Intervall I
befindet. Finden Sie, basierend auf den Postulaten der Quantenmechanik, eine Formel
für die Wellenfunktion unmittelbar nach der Messung.
(ein Punkt)
2