Ubungsaufgaben zur Vorlesung ” Quantenmechanik I

Übungsaufgaben zur Vorlesung
Quantenmechanik I“
”
Prof. Dr. Peter van Dongen
Institut für Physik, KOMET 337, Johannes Gutenberg-Universität
Abgabetermin: 06. 01. 2006
Aufgabe 19. Nicht-hermitesche Hamilton-Operatoren? (3 Punkte)
Wir betrachten ein nicht-relativistisches quantenmechanisches System in der Bra-Ket-Darstellung.
Alle Postulate der Quantenmechanik sollen gelten, außer der Hermitezität des Hamilton-Operators.
Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass der Funktionenraum zweidimensional ist und dass
|φ1 i und |φ2 i eine vollständige, orthonormale Basis dieses Raums bilden. Der Anfangszustand
des Systems zur Zeit t = 0 sei |ψ0 i = λ1 |φ1 i + λ2 |φ2 i mit |λ1 |2 + |λ2 |2 = 1. Für t > 0 werde die
Dynamik des Systems durch den Hamilton-Operator Ĥ = ε1 |φ1 ihφ1 | + (ε2 − iε3 ) |φ2 ihφ2 | mit
ε1,2,3 ∈ R und ε3 > 0 beschrieben.
(a)
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass man das System zum Zeitpunkt t > 0
im Zustand |φ1 i bzw. |φ2 i findet. Berechnen Sie außerdem hψ(t)|ψ(t)i.
(b) Interpretieren Sie die unter a) erhaltenen Ergebnisse.
Aufgabe 20. Eine unscharfe Relation für L̂3 und ϕ (12 Punkte)
In sphärischen Koordinaten (r, θ, ϕ) nimmt die Komponente L̂3 = x1 p̂2 −x2 p̂1 des Drehimpulses
∂
an. Aufgrund der Vertauschungsrelation [ϕ, L̂3 ] = i~ könnte man
die einfache Gestalt L̂3 = ~i ∂ϕ
erwarten, dass für ϕ und L̂3 eine ähnliche Unschärferelation gilt wie für xi und p̂i (i = 1, 2, 3)
in R3 . Ein wesentlicher Unterschied zwischen beiden Variablenpaaren ist jedoch, dass die ϕAbhängigkeit von Wellenfunktionen stets 2π-periodisch ist, die xi -Abhängigkeit jedoch i. A. keine
Periodizität aufweist. Um eine Unschärferelation für ϕ und L̂3 formulieren zu können, müssen
wir daher den üblichen Formalismus modifizieren
R a+π und 2π-periodische Wellenfunktionen ψ(ϕ +
2π) = ψ(ϕ), ein Skalarprodukt (ψ1 , ψ2 )a ≡ a−π dϕ ψ1∗ (ϕ)ψ2 (ϕ) für solche Wellenfunktionen,
Mittelwerte
q
hAiψ,a ≡ (ψ, Aψ)a , Abweichungen vom Mittelwert δA = A − hAiψ,a und Unschärfen
(δA)2 ψ,a einführen.
∆A ≡
(a)
Zeigen Sie, dass L̂3 =
~ ∂
i ∂ϕ
gilt, dass L̂3 hermitesch ist: (ψ1 , L̂3 ψ2 )a = (L̂3 ψ1 , ψ2 )a , falls ψ1
und ψ2 2π-periodisch sind, und dass die Eigenfunktionen von L̂3 durch Φm (ϕ) =
(m ∈ Z) gegeben sind. Ist der Satz Φm orthonormal? Ist er vollständig?
√1 eimϕ
2π
(b) Zeigen Sie allgemein, dass hL̂3 iψ,a und ∆L3 a-unabhängig sind und dass ∆ϕ 2π-periodisch
als Funktion von a ist.
(c)
Zeigen Sie, dass die Winkelvariable ϕ für die Eigenfunktionen von L̂3 , d.h. für ψ = Φm ,
maximal unbestimmt ist. Beweisen Sie nun entweder, dass eine Unschärferelation der Form
∆L3 ∆ϕ ≥ 12 |h[L̂3 , ϕ]iψ,a | für das Variablenpaar (L̂3 , ϕ) gilt, oder erläutern Sie, warum die
übliche Herleitung der Heisenberg’schen Unschärferelation in diesem Fall nicht zutrifft.
Als Beispiel eines typischen“ Wellenpakets betrachten wir die 2π-periodische Wellenfunktion
”
(
∞
X
A[1 + cos(λϕ)]
− πλ ≤ ϕ ≤ πλ , λ ≥ 1
f (ϕ + 2nπ) mit f (ϕ) =
ψ(ϕ) =
0
(sonst),
n=−∞
wobei A > 0 eine Normierungskonstante ist: (ψ, ψ)a = 1.
(d) Berechnen Sie für a = 0 die Unschärfen ∆L3 und ∆ϕ für diese Wellenfunktion. Ist das
Produkt ∆L3 ∆ϕ größer oder kleiner als 21 ~?
(e)
Erklären Sie die Relevanz dieser Aufgabe für die Formulierung von Unschärferelationen für
das Teilchen im Kasten“ mit periodischen Randbedingungen.
”
Aufgabe 21. Relevanz eindimensionaler Lösungen für höherdimensionale Probleme
(5 Punkte)
Betrachten Sie ein Schrödinger-Teilchen in einem eindimensionalen System (x ∈ R), dessen
p̂2
+ V (x) beschrieben wird. Der HamiltonDynamik durch den Hamilton-Operator Ĥ1 (p̂, x) = 2m
Operator hat einen vollständigen
Satz
von
Eigenfunktionen
φn (x), die orthonormal bezüglich
R
des Skalarprodukts (ψ1 , ψ2 )1 = dx ψ1∗ (x)ψ2 (x) sind. Die Eigenenergien seien En (n = 0, 1, 2, . . . ).
Betrachten Sie zum Vergleich ein Schrödinger-Teilchen im d-dimensionalen Raum (x ∈ Rd ), dessen Dynamik durch
Ĥd (p̂, x) =
d
X
Ĥ1 (p̂ℓ , xℓ ) ,
x = (x1 , . . . , xd ) ,
p̂ = (p̂1 , . . . , p̂d )
ℓ=1
beschrieben wird.
(a)
Zeigen Sie, dass die Produktwellenfunktionen
Φn (x) =
d
Y
φnℓ (xℓ ) ,
n = (n1 , . . . , nd )
ℓ=1
einen vollständigen Satz von REigenfunktionen von Ĥd bilden, die orthonormal bezüglich des
Skalarprodukts (ψ1 , ψ2 )d ≡ dx ψ1∗ (x) ψ2 (x) sind.
(b) Zeigen Sie, dass die allgemeine Lösung der Schrödinger-Gleichung i~ ∂Ψ
∂t = Ĥd Ψ zur Anfangsamplitude Ψ(x, 0) = Ψ0 (x) die Form
X
Ψ(x, t) =
(Φn , Ψ0 )d e−iEn t/~ Φn (x)
n
hat, und bestimmen Sie die Eigenenergien En von Ĥd .