Blatt 11

Uni Stuttgart
WS 2012/13
Mathematische Methoden der Quantenmechanik
Prof. M. Griesemer
Blatt 11
1. Satz von Newton. Zeigen Sie, dass für alle x ∈ R3 gilt
Z
1
1 1
dσ(y) = min
,
.
r |x|
|y|=r |x − y|
2. Virialtheorem. Sei H = −∆ + V selbst-adjungiert mit D(H) = H 2 (Rn ) in H =
L2 (Rn ), und sei V (λx) = λ−µ V (x) für alle λ > 0 wobei µ ∈ (0, 2). Sei Uλ ∈ L(H)
definiert durch
n
Uλ ψ(x) = λ 2 ψ(λx), λ > 0.
Zeigen Sie,
(a) Uλ∗ HUλ = λ2 (−∆) + λµ V.
(b) Falls Hψ = Eψ, dann
2hψ, (−∆)ψi + µhψ, V ψi =
d
hUλ ψ, HUλ ψi|λ=1 = 0.
dλ
(c) Falls Hψ = Eψ dann E < 0.
(d) Zeigen Sie, dass atomare Schrödingeroperatoren der Form
X
N X
Z
1
H=
−∆xk −
+
|xk |
|xi − xj |
i<j
k=1
keine positive Eigenwerte haben.
3. Asymptotisches Verhalten von Eigenfunktionen in einer Dimension.
Sei ϕ ∈ C 2 (R) eine reellwertige Lösung der Schrödingergleichung
−ϕ00 + V ϕ = Eϕ
wobei E ∈ R, V : R → R stetig, und V − E ≥ κ2 > 0 für x ≥ x0 sei. Dann gilt für alle
x ≥ x0 , welche gross genug sind entweder
|ϕ(x)| ≥ C1 eκx
oder
|ϕ(x)| ≤ C2 e−κx
(1)
mit Konstanten C1 , C2 ∈ R. Beweisen Sie diese Aussage indem Sie nacheinander folgende
Teilaussagen über die Funktionen G(x) = ϕ(x)2 /2 und H(x) = G0 (x) = ϕ0 (x)ϕ(x)
verifizieren.
1
(a) Für alle x ≥ x0 gilt
H 0 (x) ≥ κ2 ϕ(x)2 + ϕ0 (x)2 ≥ 2κ|H(x)| ≥ 0
und
d
H(x)e±2κx ≥ 0.
dx
(b) Falls H(x1 ) > 0 für ein x1 ≥ x0 , dann ist
H(x) ≥ e2κ(x−x1 ) H(x1 ) > 0,
für x ≥ x1 ,
und es gilt die erste Ungleichung aus (1) für x groß genug.
(c) Falls H(x) ≤ 0 für alle x ≥ x0 , dann ist
|H(x)| ≤ e−2κ(x−x0 ) |H(x0 )|,
für x ≥ x0 ,
limx→∞ G(x) = 0, und es gilt die zweite Ungleichung aus (1) für alle x ≥ x0 .
Abgabe 29.1.2013
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