Blatt 04 - 5. Physikalisches Institut

Fortgeschrittene Atomphysik I
WS 2013/2014
Prof. Dr. Tilman Pfau
5. Physikalisches Institut
Übungsblatt 4
Besprechung: 04./05. Dezember 2013
Aufgabe 1: Hyperfeinstruktur und Kopplung an ex31(3,6,6,8,8) Punkte
ternes Magnetfeld im Rubidium
Rubidium ist ein Alkalimetall, also ein Element der 1. Hauptgruppe. Alle Alkalimetalle besitzen
nur ein einziges Valenzelektron, während alle anderen Elektronen in vollständig gefüllten Schalen
sitzen. Daher verhalten sich diese Elemente sehr ähnlich zum Wasserstoff, insbesondere treten für
das eine Valenzelektron die bereits bekannten Quantenzahlen auf. Explizit befindet sich das Valenzelektron im Grundzustand im 5S1/2 Orbital. Das bedeutet für die Quantenzahlen: n = 5, L = 0,
S = 1/2, J = L + S = 1/2. Das 87 Rb Isotop, welches wir hier betrachten, hat einen Kernspin von
I = 3/2.
a) Wie viele verschiedene Unterzustände hat der 5S1/2 Zustand von
Gesamtspin F annehmen?
87 Rb?
Welche Werte kann der
b) Geben sie die Zustände |F, mF i in der Basis |I, mI i |S, mS i der ungekoppelten Drehimpulse an.
c) Die Entartung der Grundzustände wird durch die Hyperfeinkopplung aufgehoben. Diese wird
durch den Hamilton-Operator HHF = AHF I · J beschrieben. Die Hyperfein-Konstante für den
87 Rb-Grundzustand ist sehr exakt vermessen: A
5S1/2 = ~ · 3.417341305452145(45) GHz. Stellen
Sie den Operator HHF in der |F, mF i Basis dar. Was wissen Sie bereits ohne jegliche Rechnung
über die Form dieser Matrix? Wie groß ist die resultierende Hyperfein-Aufspaltung ohne externe
Felder?
d) Die Wechselwirkung mit einem externen magnetischen Feld B ist durch HB = µ · B gegeben. Dabei ist das magnetische Moment durch µ = µB (gL L + gS S + gI I )/~ bestimmt. Da
der Lande-Faktor des Elektrons gs = 2 wesentlich größer als der des Kerns ist, werden wir die
Wechselwirkung mit dem Kernspin vernachlässigen. Dadurch nimmt der Hamilton-Operator für
die Kopplung ans Magnetfeld in unserem Fall die einfache Form HB = 2µB S · B/~ an. Dabei
ist S · B = Sx Bx + Sy By + Sz Bz durch die Pauli-Spinmatrizen Si bestimmt.
Berechnen Sie die magnetische Dipolmatrix hF, mF | HB |F 0 , mF 0 i. Beachten Sie, dass hier explizit ein vektorielles B-Feld angenommen wird, welches nicht zwangsweise in z-Richtung zeigt.
Hinweis 1: Benutzen Sie die Zerlegung der Zustände in die ungekoppelte Basis.
Hinweis 2: Zur Berechnung der magnetischen Dipolmatrix-Elemente ist es sinnvoll von karthesischen Koordinaten zu sphärischen Koordinaten (e+ , e− , eπ ) zu wechseln, so wie es in der
Vorlesung für die elektrischen Dipolübergänge gemacht wurde.
e) Betrachten Sie nun den Gesamt-Hamiltonoperator H = HHF + HB und berechnen Sie die
Eigenenergien aller Zustände in einem homogenen B-Feld als Funktion der Magnetfeldstärke.
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Hinweis: Der Fall J = 1/2 ist der einzige, für den eine analytische Lösung für alle B-FeldStärken existiert (Breit-Rabi-Formel). Anstatt diese Formel herzuleiten, ist es auch möglich,
den Gesamt-Hamiltonian numerisch zu diagonalisieren.
Aufgabe 2:
Rubidium-Atomuhr
10 Punkte
In dieser Aufgabe soll der Artikel The rubidium atomic clock and basic research“ von James Cam”
paro (Physics Today, November 2007) bearbeitet werden.
Lesen Sie den Artikel und fassen Sie die Kernaussagen zusammen. Orientieren Sie sich an folgenden
Fragestellungen:
• Warum werden zwei Rubidiumzellen benötigt?
• Was ist optisches Pumpen?
• Was wird als Fehlersignal für die Regelung der Frequenz verwendet?
• Was ist der Light Shift“?
”
• Was sind die Vorteile bei der Verwendung eines Lasers?
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