Statistische Physik für Bachelor plus Aufgabenblatt 12 – Probeklausur

Statistische Physik für Bachelor plus
Ludwig-Maximilians-Universität München
Dr. Michael Haack
Aufgabenblatt 12 – Probeklausur
Abgabe: 28. Januar 2016
Erinnerung: Klausur am 19.2.2016, 8.30 Uhr, 3 Stunden, im C123
(Theresienstr. 41)
Aufgabe 1: Kurze Fragen (20 Punkte)
(a) Was ist ein reversibler Prozeß? (2 Punkte)
(b) Ist das Verhältnis Cp /CV der Wärmekapazitäten bei konstantem Druck
und konstantem Volumen für Gase immer größer, gleich oder kleiner als 1? Begründen Sie Ihre Antwort physikalisch. (2 Punkte)
(c) Wie ändert sich die innere Energie der Arbeitssubstanz nach Durchlaufen
eines Kreisprozesses? (2 Punkte)
(d) Gegeben sei ein thermodynamisches System in thermischem Kontakt mit
einem Wärmereservoir. Erlaubt der 2. HS der Thermodynamik Prozesse, in denen die Entropie des Systems abnimmt? (2 Punkte)
(e) Gegeben sei ein quantenmechanisches System bei fester Temperatur T . Es
gebe n1 verschiedene Zustände zur Energie E1 und n2 verschiedene Zustände
zur Energie E2 . Wie lautet die Zustandssumme? (2 Punkte)
(f ) Die kanonische Wahrscheinlichkeitsverteilung besagt, daß bei fester Temperatur die Wahrscheinlichkeit für Mikrozustände mit höherer Energie exponentiell
gegenüber Zuständen mit niedrigerer Energie unterdrückt ist. Dennoch ist für
ein klassisches einatomiges ideales Gas, zum Beispiel, die innere Energie bei der
Temperatur T gleich U = 23 N kT , also groß im Vergleich zur minimal möglichen
Energie (die klassisch null wäre und quantenmechanisch durch die Nullpunktsenergie bestimmt ist). Wieso ist das kein Widerspruch? (2 Punkte)
(g) Skizzieren Sie das Phasendiagramm von Wasser in der p − T Ebene. Zeichnen Sie den Tripelpunkt und den kritischen Punkt ein und deuten Sie an, in
welchen Bereichen das Wasser in fester, flüssiger oder gasförmiger Form vorliegt.
Was sind der Tripelpunkt und der kritische Punkt? (4 Punkte)
(h) Unter bestimmten Annahmen (welchen?) wird das Verhalten realer Gase gut durch das ideale Gasgesetz beschrieben. Warum ist das ideale Gas zur
Beschreibung von Phasenübergängen flüssig-gasförmig ungeeignet? (2 Punkte)
(i) Die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung eines Gases ist gegeben durch
D(v)dv = C exp(−mv 2 /(2kT ))v 2 dv, für eine Konstante C. Bestimmen Sie diese.
(2 Punkte)
1
Aufgabe 2: Stirling-Prozess (14 Punkte)
Für ein ideales Gas soll folgender Kreisprozess mit T1 > T2 und V1 > V2 untersucht werden:
(T1 , V2 )
T =const
−→
(T1 , V1 )
V =const
−→
(T2 , V1 )
T =const
−→
(T2 , V2 )
V =const
−→
(T1 , V2 ) .
(2.1)
Alle Schritte seien quasistatisch.
(a) Stellen Sie diesen Kreisprozess sowohl in einem T -V -Diagramm als auch in
einem p-V -Diagramm dar. (3 Punkte)
(b) Berechnen Sie die vier Wärmemengen, die in den einzelnen Schritten zubzw. abgeführt werden. Machen Sie dabei klar, in welchem Schritt Wärme zugeführt wird und in welchem Wärme abgegeben wird. (5 Punkte)
(c) Welche Arbeit leistet das Gas pro Zyklus? (3 Punkte)
(d) Bestimmen Sie den Wirkungsgrad. Ist er kleiner, größer oder gleich dem des
Carnot Prozesses? (3 Punkte)
Aufgabe 3: Photonengas (9 Punkte)
(a) Benutzen Sie die thermodynamische Identität
dU = T dS − pdV
(3.1)
um die Beziehung
∂U
∂V
=T
T
∂p
∂T
−p
(3.2)
V
herzuleiten. Fassen Sie dazu die innere Energie und die Entropie als Funktionen
von T und V auf und benutzen Sie eine geeignete Maxwell Relation. (4 Punkte)
(b) Die thermische Zustandsgleichung eines thermodynamischen Systems sei
p = α(T ) ;
α = const.
(3.3)
Dabei ist (T ) die innere Energie pro Volumen. Z.B. ist die thermische Zustandsgleichung eines Photonengases von der Form (3.3). In dem Fall gilt α = 1/3 und
π 2 k4
= σT 4 mit σ = 15~
3 c3 .
Bestimmen Sie die Temperaturabhängigkeit der inneren Energie des Systems.
(5 Punkte)
Hinweis: Drücken Sie U (T, V ) durch (T ) aus und benutzen Sie (3.2), um eine
Differentialgleichung für (T ) herzuleiten, die Sie dann lösen müssen.
2
Aufgabe 4: Statistische Physik und Wärmekapazität (9 Punkte)
(a) Benutzen Sie den Zusammenhang von F und Z, um zu zeigen, daß die
Wärmekapazität bei konstantem Volumen CV gegeben ist durch
2
∂
CV = kT
(T
ln
Z)
.
(4 Punkte)
(4.1)
∂T 2
V
(b) Betrachten Sie ein System, das nur zwei verschiedene Energieeigenzustände
hat, mit Energiewerten E0 und E1 . Bestimmen Sie Z und zeigen Sie
CV =
(E1 − E0 )2
.
1 −E0
4kT 2 cosh2 E2kT
(5 Punkte)
(4.2)
Hinweis: Die Berechnung von CV ist etwas länglich, wenn man es nicht geschickt anstellt. Daher nicht zu viel Zeit darauf verwenden. Tip: Benutzen Sie
ln(eA + eB ) = A + ln(1 + eB−A ) .
(4.3)
Außerdem gilt
cosh(x) =
ex + e−x
.
2
(4.4)
Aufgabe 5: Thermodynamik des Gummifadens
(12 Punkte)
Ein einfaches, phänomenologisches Modell eines Gummifadens beruht auf dem
folgenden Ansatz für die Entropie S als Funktion der inneren Energie U und
der Länge L des Fadens,
U
b
S(U, L) = S0 + cL0 ln
(L − L0 )2 .
(5.1)
−
U0
2(L1 − L0 )
Dabei sind L0 die Ruhelänge, L1 die elastische Grenzlänge (L0 ≤ L ≤ L1 ),
S0 , U0 , c und b positive Konstanten.
(a) Wie lauten die thermische (U = U (T, L)) und die mechanische (σ = σ(T, L))
Zustandsgleichung, wobei σ die Fadenspannung ist? (3 Punkte)
Hinweis: Gehen Sie aus von
dS =
σ
1
dU − dL .
T
T
(5.2)
Zur Kontrolle: Sie sollten U = αT, σ = T (βL + γ) bekommen, mit gewissen
Konstanten α, β, γ, die Sie bestimmen müssen.
(b) Bestimmen Sie die Helmholtz Freie Energie F (T, L). (2 Punkte)
(c) Der Gummifaden werde nun quasistatisch ausgedehnt. Welche Arbeit ist
erforderlich für eine infinitesimale Ausdehnung des Fadens um dL? (2 Punkte)
3
(d) Leiten Sie die Formel
CL = T
∂S
∂T
(5.3)
L
für die Wärmekapazität bei konstanter Länge L her. (2 Punkte)
(e) Der Gummifaden werde nun quasistatisch und adiabatisch ausgedehnt um
dL. Wie ändern sich die innere Energie und Temperatur des Fadens? (3 Punkte)
Bei Fragen:
[email protected]
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