Quantenmechanik I

Prof. Dr. G. M. Pastor
Dr. Waldemar Töws
Gunnar Stegmann
Sergej Riemer
Tobias Müller
Universität Kassel
Quantenmechanik I
WS 2016/17
Quantenmechanik I
Übungsblatt 8
Abgabe spätestens am Donnerstag, den 15. Dez. 2016 am Anfang der Vorlesung.
1)
8 Punkte
In dieser Aufgabe wollen wir untersuchen, ob es möglich ist, die Position eines
Teilchens in einem harmonischen Potential bei zwei aufeinanderfolgenden Zeiten
t = 0 und t > 0 beliebig genau messen zu können. Betrachten Sie dazu ein Teilchen
p̂2
mit dem Hamiltonoperator Ĥ = 2m
+ 12 m ω x̂2 .
i) Geben Sie die Heisenbergdarstellung für den Ortsoperator x̂ zum Zeitpunkt
t0 = 0 und t > 0 an.
ii) Berechnen Sie den Kommutator [x̂(0), x̂(t)] auf zwei Arten, indem Sie
(a) den Kommutator direkt ausrechnen,
(b) die Heisenbergsche Bewegungsgleichung für x̂(t) lösen und dann den Kommutator berechnen. Wie lauten die Anfangsbedingungen für x̂(t)?
iii) Zeigen Sie mit Hilfe der Unschärferelation die Beziehung
∆x(0)∆x(t) ≥
~
| sin(ωt)|
2mω
iv) Zu welchen Zeitpunkten kann man den Ort beliebig genau messen, nachdem
man ihn bei t = 0 genau gemessen hat?
v) Geben Sie eine Näherung für den Ausdruck ∆x(0)∆x(t) bei sehr kleinen Zeiten
t 1/ω an. Warum spielt hier die Form des Potentials keine Rolle? Welches
Potential kennen Sie, bei dem man dieses Ergebnis für ∆x(0)∆x(t) für alle
Zeiten t > 0 erhält?
2)
Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
Für einen linearen Operator F̂ ist das Exponential eF̂ wie folgt als Reihe definiert:
8 Punkte
∞
X
1 k
e =
F̂ .
k!
k=0
F̂
Betrachten Sie im Folgenden zwei lineare Operatoren  und B̂.
i) Nehmen Sie an, dass die Operatoren  und B̂ miteinander kommutieren, d.h.
es gelte [Â, B̂] = 0. Zeigen Sie, dass dann die folgende Regel gilt:
e eB̂ = eÂ+B̂ .
(1)
ii) Nehmen Sie nun an, dass die Operatoren  und B̂ nicht miteinander kommutieren, d.h. es gelte [Â, B̂] 6= 0. Zeigen Sie, dass dann die Beziehung (1) nicht
mehr gilt. Zeigen Sie dazu, dass man in diesem Fall den Ausdruck
1
e eB̂ = eÂ+B̂ + [B̂, Â] + . . .
2
erhält.
3)
In der Besetzungszahldarstellung lässt sich der Hamiltonoperator eines quantenmechanischen harmonischen Oszillators schreiben als
10 Punkte
Ĥ = ~ω(n̂ + 1/2),
wobei n̂ = ↠â der Besetzungszahloperator ist mit n̂|n0 i = n0 |n0 i. Die Vernichtungsund Erzeugungsoperatoren â und ↠sind definiert als
!
!
r
r
r
r
1
mω
1
mω
1
1
p̂ − i
x̂
und ↠= √
p̂ + i
x̂
â = √
m~ω
~
m~ω
~
2
2
und
[â, ↠] = 1, sowie die Beziehungen â|ni =
√
√ erfüllen die †Vertauschungsrelation
n|n − 1i und â |ni = n + 1|n + 1i.
i) Berechnen Sie die Kommutatoren [n̂, ↠] und [n̂, â]. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für â(t) im Heisenberg-Bild und finden Sie â(t) und ↠(t) als
Funktion von âS = â(0) bzw. â†S = ↠(0).
P
ii) Betrachten Sie einen beliebigen Zustand |Ψi =
n αn |ni des harmonischen
Oszillators, dessen mittlere Besetzungszahl durch hni = hΨ|n̂|Ψi gegeben ist.
Weiterhin sei |ϕi = A â|Ψi mit A ∈ C. Berechnen Sie die Normierungskonstante A so, dass hϕ|ϕi = 1 gilt.
iii) Zeigen Sie, dass für die mittlere Besetzungszahl im Zustand |ϕi gilt
hϕ|n̂|ϕi =
hΨ|(n̂2 − n̂)|Ψi
hn̂i
iv) Berechnen Sie die Mittelwerte hn|x̂|ni des Ortes x und hn|p̂|ni des Impulses p
für den Eigenzustand |ni des harmonischen Oszillators.
v) Berechnen Sie hn|x̂2 |ni und hn|p̂2 |ni. Wie verhält sich der Mittelwert der
kinetischen Energie zum Mittelwert der potentiellen Energie im Eigenzustand
|ni? Wie hängt die Ortsunschärfe ∆x von der Frequenz ω und die Impulsunschärfe ∆p von der Masse bei konstanter Energie bzw. n ab? Können Sie dies
klassisch deuten?
vi) Berechnen Sie das Unschärfeprodukt ∆x∆p und interpretieren Sie das Resultat.
4)
8 Punkte
Wir betrachten einen quantenmechanischen harmonischen Oszillator in 3D
p̂2
1
+ mω 2 r2
2m 2
mit r2 = x2 + y 2 + z 2 und p~ˆ = (p̂x , p̂y , p̂z ).
Ĥ =
i) Zeigen Sie, dass man dieses Problem mit Hilfe des Separationsansatzes ψr (x, y, z) =
ψx (x) ψy (y) ψz (z) lösen kann.
Wir wissen bereits, dass mit n̂x = â†x âx gilt
p̂2x
1
+ mω 2 x2 = ~ω(n̂x + 1/2) .
2m 2
i) Drücken Sie den dreidimensionalen Hamiltonoperator mit Hilfe von n̂x , n̂y und
n̂z aus.
ii) Geben Sie die vier niedrigsten Energieeigenwerte E0 , E1 , E2 und E3 , die zugehörigen Eigenzustände in der Besetzungszahldarstellung und die entsprechenden Entartungen an.
Ĥx =