Universität Stuttgart Institut für Theoretische Physik 1 Prof. Dr. G

Universität Stuttgart
Institut für Theoretische Physik 1
Prof. Dr. G. Wunner
Übungen zur Vorlesung ,,Theoretische Physik 2: Quantenmechanik”, WS 2013/2014
3. Übungsblatt vom 25.10.2013
Abgabe der Übungen: Donnerstag, 31.10.2013, bis spätestens 16 Uhr beim Übungsleiter oder im
Sekretariat Raum 4.354
Aufgabe 8: Matrixdarstellung und Unschärferelation beim harmonischen Oszillator
(schriftlich, 8 Punkte)
a) Berechnen Sie ausgehend von den in der Vorlesung hergeleiteten Beziehungen zwischen dem
Orts- und Impulsoperator und
Vernichtungoperatoren
des harmonischen
p
√ den Erzeugungs- und √
Oszillators x̂ = ℓ0 (â+ + â− )/ 2, p̂ = ih̄/ℓ0 (â+ − â− )/ 2 (mit ℓ0 = h̄/mω0 ) den Kommutator
p̂ x̂ − x̂ p̂.
b) Berechnen Sie Matrixdarstellung in der Basis der Lösungen der stationären Schrödingergleichung
2
der Operatoren p̂2 , x̂2 , p̂2 /2m, mω02 x̂ /2. Überprüfen Sie, ob sich die Aussage des klassichen
Virialsatzes auf den quantenmechanischen Oszillator übertragen lässt.
c) Berechnen Sie das Produkt der Varianzen < (x̂ − < x̂ >)2 > und < (p̂ − < p̂ >)2 > für den
n-ten angeregten Zustand des harmonischen Oszillators.
Aufgabe 9: Oszillator im Heisenberg-Bild
(6 Punkte)
Bestimmen Sie in der Basis der Lösungen der zeitabhängigen Schrödingergleichung die Matrixdarstellungen der Operatoren p̂, x̂, Ĥ, Ĥ p̂, Ĥ x̂, p̂Ĥ, x̂Ĥ. Verifizieren Sie:
d
(x̂).
dt
i
d
i
d
(x̂) = [(H), (x̂)] und
(p̂) = [(H), (p̂)].
b)
dt
h̄
dt
h̄
Welches sind die korrespondierenden Gleichungen der klassischen Mechanik?
a) (p̂) = m
Aufgabe 10: Bose-Vertauschungsrelationen: Eigenvektoren, Eigenwerte
(8 Punkte)
Sei V ein Vektorraum mit Elementen v, der mit einem komplexen Skalarprodukt < ·, · > ausgestattet
ist. Es existiere ein Operator a, der mit seinem hermitesch adjungierten Operator1 a† die BoseVertauschungsrelationen
[a, a† ] = 1
erfüllt. Der Anzahloperator ist definiert durch N = a† a.
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) Ist vn ein Eigenvektor von N und n der zugehörige Eigenwert, dann ist
1) n ≥ 0;
2) für n = 0 ist a v0 = 0; für n > 0 ist a vn ein von Null verschiedener Vektor mit der Norm
n < vn , vn > und Eigenvektor von N zum Eigenwert n − 1;
3) der Vektor a† vn ist immer vom Nullvektor verschieden; seine Norm ist (n + 1) < vn , vn >,
und er ist Eigenvektor von N zum Eigenwert n + 1.
b) Es sei n ≥ 1. Dann gilt:
1) Die Vektoren a vn , a2 vn , a3 vn , . . . , ap vn , . . . sind Eigenvektoren zu den Eigenwerten
n − 1, n − 2, n − 3, n − p, . . . .
2) n ist eine natürliche Zahl.
2
3
p
3) Die Vektoren a† vn , a† vn , a† vn , . . . , a† vn , . . . sind Eigenvektoren zu den Eigenwerten
n + 1, n + 2, n + 3, . . . , n + p, . . . .
√
n
c) Die normierten Eigenvektoren ṽn zum Eigenwert n sind ṽn = a† v0 / n! und zueinander orthogonal.
1 Das
heißt: < v1 , av2 >=< a† v1 , v2 > ∀v1 , v2 ∈ V .