Vorlesung Theoretische Physik III - WS 2004/2005

Vorlesung Theoretische Physik III - WS 2004/2005 - Prof. H. Kroha
M.Arnold, C.Kolf
http://www.th.physik.uni-bonn.de/th/groups/kroha/teaching/qm2/
Übungsblatt 2
Besprechung: 1. November - 5. November
2.1 Klein-Paradoxon für Spin-0 Teilchen
Analog zur nicht-relativistischen Quantenmechanik wird im Folgenden das Problem einer
Potentialstufe für spinlose Teilchen mit der Ladung q und der Masse m mit Hilfe der KleinGordon Gleichung behandelt. Die Ankopplung des elektromagnetischen Feldes erfolgt genauso wie für den Hamilton-Operator der Schrödinger Gleichung mittels minimaler Kopplung:
q
i~∂ µ → i~∂ µ − Aµ
c
mit Aµ = (Φ(x), 0, 0, 0)
(1)
Das elektrische Potential V (x) = q · Φ(x) sei hier definiert durch:
V (x) =
0 x<0
V0 x ≥ 0
(I)
(II)
(2)
a) Gib die Klein-Gordon-Gleichung in den Bereichen (I) und (II) an.
b) Mache folgenden Lösungsansatz
Ψ< (x < 0) = e−iωt eikx + Re−ikx
0
Ψ> (x ≥ 0) = T e−iωt eik x
(3)
und zeige für die Impulse p = ~k, p0 = ~k 0 mit E = ~ω
p=
p
E 2 /c2 − m2 c2
p
p0 = ± (E − V0 )2 /c2 − m2 c2
(4)
(wobei hier und im Folgenden keine kovariante Schreibweise benutzt wird und außerdem
nur die x-Komponenten der jeweiligen Vektoren betrachtet werden.)
c) Zeige, dass es in diesem Fall drei Bereiche für das Potential V0 gibt (weak, intermediate, strong potential), in denen qualitativ unterschiedliche Lösungen für p0 existieren.
Ermittle diese und vergleiche mit dem nicht-relativistischen Fall.
d) Berechne R und T durch die notwendige Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer Ableitung an der Grenze x = 0.
e) Der Reflektionskoeffizient ρ und der Transmissionskoeffizient τ sind gegeben durch die
Ströme in den jeweiligen Bereichen, bezogen auf den Strom jin = p/m der freien,
einlaufenden Lösung der Klein-Gordon Gleichung
ρ = 1 − j< /jin
τ = j> /jin
Berechne beide Koeffizienten in den drei Potentialbereichen und diskutiere das Ergebnis
physikalisch. (Erinnerung: Der Strom in x-Richtung für eine Welle Ψ ist gegeben durch
~
jx = 2mi
(Ψ∗ ∂x Ψ − Ψ∂x Ψ∗ ).)
f) Zeige, dass für eine Klein-Gordon Gleichung
"
2 2 #
2
mc
i
Ψ(x, t) =: D(x, t)Ψ(x, t) = 0
∂t + qΦ(x) − c2 ∂x2 +
~
~
(5)
gilt: D(x, −t)Ψ∗ (x, t) = 0.
Also ist Ψ∗ eine Lösung der Klein-Gordon Gleichung mit umgekehrter Zeitrichtung.
Folgere D∗ (x, t)Ψ(x, −t) = 0. Interpretiere unter diesem Aspekt das Ergebnis aus e).
(15 Punkte)
2.2 Landau-Niveaus eines Teilchens ohne Spin in einem Magnetfeld
~ d.h. es
In dieser Aufgabe sei das e.m. Potential gegeben durch Aµ = (0, −By, 0, 0) = (0, A),
~
~
existiert ein endliches Magnetfeld B = ∇ × A.
a) Stelle sowohl die Schrödinger- als auch die Klein-Gordon Gleichung für ein spinloses
Teilchen mit Ladung q in diesem Potential auf.
b) Warum kann man in beiden Fällen den Ansatz Ψ(~x, t) = e−iωt ei(kx x+kz z) φ(y) für die
Wellenfunktion wählen ?
c) Zeige, dass für den kinetischen Impuls in x-Richtung, angewandt auf Ψ geschrieben
werden kann πx Ψ = (px − qc Ax )Ψ ∝ (y − y0 )2 Ψ und bestimme y0 . Vergleiche mit dem
Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators.
d) Berechne das Energiespektrum für den Schrödinger- und den Klein-Gordon-Fall.
(10 Punkte)
2.3 Lorentz-Transformation eines elektromagnetischen Potentials
In den vorigen Aufgaben wurde ein elektrisches Potential Φ(x) betrachtet, während das
~ = 0 war. Jetzt soll untersucht werden, wie sich ein e.-m.
Vektorpotential im Laborsystem A
Potential bei Transformation in ein anderes Bezugssystem verhält. Der Einfachheit halber
beschränken wir uns auf eine räumliche Dimension.


φ(x, t)
 a(x, t) 
 solch ein 4-Potential.
Sei Aµ (x, t) = 


0
0
a) Wie transformiert sich Aµ unter einem Lorentz-Boost Lx in x-Richtung ?
b) Jetzt sei a(x, t) = 0. Wie sieht das transformierte õ (x̃, t̃) aus ? Wird in diesem Fall
~ erzeugt ?
durch die Transformation ein Magnetfeld B
1
c) Transformiere das Potential a(x, t) = 0, φ(x, t) = φ(x) = e−x/b
und skizziere das
+1
Ergebnis für t̃ = 0. Vergleiche mit dem untransformierten System. Was passiert, wenn
man stattdessen φ(x) = δ(x) wählt ?
(7 Punkte)
2.4 Dirac-Matrizen
In der Vorlesung wurde gezeigt, dass sich die Dirac-Gleichung schreiben lässt als
∂
= −i~cαk ∂k + βmc2 Ψ
(6)
∂t
0 σk
1 0
k
mit den Dirac-Matrizen α =
, β=
, die aus den Pauli-Matrizen
σk 0
0 −1
σ k und der 1 aufgebaut werden.
i~
Die Lösungen Ψ sind in diesem Fall 4-dimensionale Spinoren.
a) Verifiziere die Beziehungen [αi , αj ]+ = 2δ ij 1 und [αi , β]+ = 0. Zeige, dass diese Antikommutatorrelationen nur von Matrizen Mn×n mit geraden Zahlen n ≥ 4 erfüllt werden
können.
b) Schreibe die Dirac-Gleichung (6) in der Darstellung mit γ 0 = β und γ k = βαk . Überprüfe die Beziehungen (γ 0 )† = γ 0 , (γ k )† = −γ k und [γ µ , γ ν ]+ = 2g µν 1
c) Beweise, dass für die Matrizen γ̃µ = Aγµ A−1 die Antikommutatorrelation [γ̃µ , γ̃ν ]+ =
2g µν 1 gilt, wenn γµ Dirac-Matrizen sind. Zeige, dass die Matrizen A eindeutig bis auf
einen konstanten Faktor sind.
(8 Punkte)
Viel Spaß!