Quantenmechanik - Institut für Theoretische Physik

Technische Universität Berlin – Institut für Theoretische Physik
19. April 2016
Prof. Dr. Tobias Brandes
Dr. Judith Lehnert, Dr. Marten Richter, Mathias Hayn, Alexander Kraft
Sina Böhling, Jonas Rezacek
2. Übungsblatt – Theoretische Physik II: Quantenmechanik
Abgabe: Di. 10. Mai 2016 vor der Vorlesung im Hörsaal EW 201
Bei den schriftlichen Ausarbeitungen werden Zwischenschritte und ausführliche Kommentare
zum Vorgehen erwartet. Dafür gibt es Punkte! Die Zettel müssen in 3er-Gruppen abgegeben werden. Bitte geben Sie Ihre Namen, Matrikelnummern und das Tutorium an!
Aufgabe 1 (4+2+2+3=11 Punkte): Potential-Streuung
Wir betrachten ein stückweise stetiges Potential V (x) und die Lösungen der SchrödingerGleichung in den jeweiligen Intervallen,


a1 eik1 x + b1 e−ik1 x ,
−∞ < x ≤ x1
V1 ,






ik2 x + b e−ik2 x ,


V
,
a
e
x 1 < x ≤ x2


2
2
2
...
...
...
...
V (x) =
ψ(x) =
,


ikN x + b e−ikN x ,


V
a
e
x
<
x
≤
x


N
N
N
N −1
N




VN +1
aN +1 eikN +1 x + bN +1 e−ikN +1 x ,
xN < x < ∞
wobei
kj =
q
(2m/~2 ) (E − Vj ).
Wir betrachten den Fall E > V1 , VN +1 , so dass k1 und kN +1 reelle Wellenvektoren sind und
ψ(x) laufende, ebene Wellen außerhalb des Streugebiets [x1 , xN ] beschreiben.
Wir wollen nun Lösungen der SG unter der Streubedingung bN +1 = 0 bestimmen, d.h. wir
suchen Lösungen, die auf der rechten Seite des Streugebiets nach rechts laufen, aber keinen
Anteil aufweisen, der von rechts einläuft.
(a) Benutzen Sie die Stetigkeit von ψ(x) und ihrer Ableitung ψ 0 (x) und zeigen Sie, dass sich
zwei Gleichungen ergeben, die sich in der Matrix-Form
ai
u1 = T 1 u2 , ui =
, i = 1, 2,
bi
mit
1
T =
2k1
1
(k1 + k2 )ei(k2 −k1 )x1
(k1 − k2 )ei(k2 +k1 )x1
(k1 − k2 )e−i(k1 +k2 )x1
(k1 + k2 )e−i(k2 −k1 )x1
schreiben lassen.
(b) Zeigen Sie, dass sich die Wellenfunktion auf der linken Seite mit der auf der rechten
Seite des Streugebiets mit Hilfe der Transfer-Matrix M verbinden läßt, wobei
u1 = M uN +1 ,
M = T 1 T 2 ...T N
und die T i sowie uN +1 analog zu oben zu definieren sind.
(c) Betrachten Sie die Wahrscheinlichkeitsstromdichte (siehe Aufgabe 3) und zeigen Sie
j(x > xN ) =
j(x < x1 ) =
~kN +1
~
Im(ikN +1 |aN +1 |2 ) = |aN +1 |2
m
m
h
i ~k
~
1
∗ −ik1 x
∗ ik1 x
ik1 x
Im (a1 e
+ b1 e
)ik1 (a1 e
− b1 e−ik1 x ) =
[|a1 |2 − |b1 |2 ].
m
m
1
Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j(x > xN ) beschreibt eine Fluß rechts vom Streugebiet nach x → ∞. Auf der anderen Seite ist j(x < x1 ) auf der linken Seite die Differenz
eines einfließenden, positiven Stroms (einfallende Teilchen) und eines ausfließenden, negativen Stroms (reflektierte Teilchen).
(d) Der Transmissions-Koeffizient T und der Reflexions-Koeffiziente R sind definiert als
das Verhältnis vom Strom der transmittierten bzw. reflektierten Welle zum Strom der
einfließenden Welle
2
b1 kN +1 aN +1 2
T :=
,
R := .
k1
a1
a1
Zeigen Sie damit, dass
kN +1 1
T =
,
k1 |M11 |2
und T + R = 1
M21 2
R=
M11 gilt, wobei Mij die Einträge der Transfer-Matrix M sind.
Aufgabe 2 (3+3+4=10 Punkte): Streuung an Rechteck-Barriere
Wir untersuchen die Streuung eines quantenmechanischen Teilchens mit Masse m und Energie E an einer Rechteck-Barriere der Höhe V > 0 und Breite 2a, indem wir den soeben
hergeleiteten Transfermatrix-Formalismus mit
N = 2,
x1 = −a,
x2 = a,
V1 = 0,
V2 = V,
V3 = 0
verwenden.
(a) Zeigen Sie, dass für das obere linke Element der durch M = T1 T2 gegebenen Transfermatrix
2
k + k22
M11 = e2ik1 a 1
i sin(−2k2 a) + cos(2k2 a)
2k1 k2
gilt und berechnen Sie anschließend das Betragsquadrat |M11 |2 .
(b) Bestimmen Sie nun den Transmissionskoeffizienten T für die drei Fälle E <
qV , E = V
und E > V . Formulieren Sie ihr Ergebnis als Funktion von E/V und α = 2m
a2 V .
~2
(c) Skizzieren Sie den Transmissionskoeffizienten T (E) als Funktion der Energie und vergleichen Sie das erhaltene quantenmechanische Resultat mit dem der klassischen Mechanik.
Aufgabe 3 (3 Punkte): Kontinuitätsgleichung
Leiten Sie aus der Schrödinger–Gleichung die dreidimensionale Version der Kontinuitätsgleichung für die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ρ(x, t) = |Ψ(x, t)|2 her:
∂
ρ(x, t) + div j(x, t) = 0.
∂t
Zeigen Sie dass die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j gegeben ist durch
j(x, t) =
~
[Ψ∗ (x, t) ∇Ψ(x, t) − Ψ(x, t) ∇Ψ∗ (x, t)]
2im
2