Ein Körper mit 8 Elementen

Ein Körper mit 8 Elementen
So, wie man die komplexen Zahlen aus den reellen konstruiert, indem man eine
Lösung i der Gleichung X 2 = −1 hinzunimmt, kann man auch aus anderen
Körpern neue bauen, indem man Lösungen von Gleichungen hinzufügt.
So kann man beispielsweise einen Körper mit 8 Elementen aus F2 konstruieren,
indem man eine Lösung α der Gleichung X 3 + X + 1 = 0 hinzunimmt (diese
Gleichung hat in F2 keine Lösung, wie man durch Einsetzen von 0 und 1 sieht).
Die Elemente dieses Körpers sollten dann von der Form a + bα + cα2 sein, wobei
a, b, c ∈ F2 . Mit der Gleichung α3 + α + 1 = 0 ergibt sich dann
(a + bα + cα2 )(a0 + b0 α + c0 α2 )
= (aa0 + bc0 + cb0 ) + (ab0 + ba0 + bc0 + cb0 + cc0 )α + (ac0 + bb0 + ca0 + cc0 )α2 .
Das motiviert die folgende Definiton:
F8 := F2 3 (das hat dann schon mal 8 Elemente) mit den Verknüpfungen + und
·, die durch
(a, b, c) + (a0 , b0 , c0 ) = (a + a0 , b + b0 , c + c0 )
0
0
0
0
0
0
und
0
(a, b, c) · (a , b , c ) = (aa + bc + cb , ab + ba0 + bc0 + cb0 + cc0 , ac0 + bb0 + ca0 + cc0 )
gegeben sind.
Das neutrale Element der Addition ist (0, 0, 0), wir nennen es 0, das neutrale
Element der Multiplikation ist (1, 0, 0), wir nennen es 1. Für α := (0, 1, 0) gilt
α2 = (0, 0, 1) und α3 + α + 1 = 0, und alle Elemente von F8 lassen sich eindeutig
als F2 -Linearkombination von 1, α, α2 schreiben. Wir haben also genau die oben
beschriebene Situation erreicht. Es gilt: F8 ist ein Körper. (Das ist an dieser
Stelle nicht unmittelbar klar, man könnte es aber nachrechnen, genau wie bei
den komplexen Zahlen.)
In der Algebra werden Sie einen systematischen Weg kennenlernen, neue Körper
durch Hinzunehmen von Lösungen von Gleichungen zu bauen, ohne immer wieder alle Körpergesetze nachrechnen zu müssen. Sie werden außerdem lernen,
daß es nur einen Körper mit 8 Elementen gibt.
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