Fakultät für Mathematik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg

Fakultät für Mathematik
Otto-von-Guericke Universität Magdeburg
Prof. Dr. H. Bräsel
Vordiplomklausur Mathematik I/II
Fachrichtungen: Informatik, Computervisualistik,
Ingenieurinformatik
21.07.2006
Name
Vorname
Fachrichtung
Matrikelnummer
Wiederholer
ja/nein
Punktebewertung
Aufgabe
Punkte
erreichte
Punkte
1
33
2
30
3
5
4
5
5
12
6
20
Wahlaufgabe
Alle Aussagen sind sorgfältig zu begründen!
1
P
100
1. Gegeben sind die Abbildungen fi : R \ {1, 0} → R \ {1, 0}, i ∈ {1, . . . , 6}:
1
1
f1 (x) = x, f2 (x) = 1 − x, f3 (x) = , f4 (x) =
,
x
1−x
x
x−1
, f6 (x) =
,
f5 (x) =
x
x−1
(a) Alle sechs Abbildungen sind bijektiv. Zeigen Sie die Bijektivität für
die Abbildung f3 (x).
(b) In der Menge M = {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } wird als Operation die Komposition fi ◦fj , d.h. (fi ◦fj )(x) = fj (fi (x)) für i, j ∈ {1, . . . 6}, betrachtet.
Vervollständigen Sie die Verknüpfungstabelle:
◦
f1
f2
f3
f4
f5
f6
(c)
(d)
(e)
(f)
f1
f1
f2
f3
f4
f5
f6
f2 f3
f2 f3
f1 f4
f1
f2
f3 f6
f4 f5
f4 f5
f4 f5
f3 f6
f2
f1
f1 f4
f2 f3
f6
f6
f5
f4
f3
f2
f1
Zeigen Sie, daß die algebraische Struktur (M, ◦) eine Gruppe ist! Ist
die Gruppe kommutativ?
Weisen Sie nach, daß ME = {f2 , f5 } ein minimales Erzeugendensystem
der Gruppe ist.
Warum ist G∗ = (M ∗ = {f1 , f4 , f5 }, ◦) eine Untergruppe der Gruppe
G = (M, ◦)? Zeigen Sie, daß G∗ sogar Normalteiler in G ist
Beschreiben Sie die Faktorgruppe G/G∗ , die durch den Normalteiler
G∗ erzeugt wird Geben Sie den natürlichen Homomorphismus ϕ von
G auf G/G∗ an.
Zeigen Sie unter Verwendung der bijektiven Abbildung g : M → MD
mit g(f1 ) = a, g(f2 ) = b, g(f3 ) = d, g(f4) = e, g(f5 ) =?, g(f6) =?,
daß G isomorph zur unten gegebenen Diedergruppe GD = (MD =
{a, b, c, d, e, f }, ⋆) ist und geben Sie ein minimales Erzeugendensstem
und einen Normalteiler der Diedergruppe an.
⋆
a
b
c
d
e
f
a
a
b
c
d
e
f
.
2
b
b
a
e
f
c
d
c
c
f
a
e
d
b
d
d
e
f
a
b
c
e
e
d
b
c
f
a
f
f
c
d
b
a
e
2. Gegeben ist das Gleichungssystem Ax = b über einem Körper K, wobei:


 
1 −2
3
6



0
A= 0 α−6
und b = 4  .
0
0
2β + 1
0
(a) Sei K = R - der Körper der reellen Zahlen. Geben Sie Rang(A) für
alle Werte von α, β aus R an. Diskutieren Sie die Lösbarkeit des Gleichungssystems Ax = b in Abhängigkeit von α und β und berechnen
Sie die Lösungsmenge L(A, b) für den Fall, daß mehr als eine Lösung
existiert.
(b) Sei K = Z5 - der Restklassenkörper modulo 5. Für welche Werte von α
und β gilt Rang(A) = 2? Lösen Sie Ax = b mit α = β = 2 in diesem
Körper und geben Sie die Lösungsmenge L(A, b) elementweise an.
(c) Sei K = R. Betrachtet werden alle linearen Abbildungen fα,β : R3 → R3
mit fα,β (x) = Ax. Bestimmen Sie α und β so, daß die Dimension
des Bildraumes 1 ist und berechnen Sie in diesem Fall den Kern der
Abbildung. Welche Dimension hat Kern(f )?
(d) Sei K = R. Für welche Werte von α und β hat die Matrix A drei reelle,
paarweise verschiedene Eigenwerte?
Wählen Sie genau eine der Aufgaben 3 oder 4!
3. Im Körper K wird die Gleichung x3 − x2 + 4x − 4 = 0 betrachtet. Lösen Sie
die Gleichung, wenn (a) K = R, (b) K = C, (c) K = Z2 .
4. Zitat von Erich Bischoff aus dem Jahre 1920:
Ich wenigstens kenne keine vollbefriedigende Erklärung dafür, warum jede
ungerade Zahl (von 3 ab), mit sich selbst multipliziert, stets ein Vielfaches
von 8 mit 1 als Rest ergibt.
Zeigen Sie, daß die folgende Gleichung tatsächlich für alle natürlichen Zahlen n erfüllt ist:
(2n + 1)2 ≡ 1 mod 8.
3
5. Gegeben sind die Funktionen:
f1 (x) =
1 + ln x
5
und f2 (x) = (1 + )2x .
x
x
(a) Untersuchen Sie f1 (x) auf relative Extrema und berechnen Sie die
Fläche zwischen x-Achse und der Funktion im Intervall [1, e].
(b) Bestimmen Sie lim f2 (x).
x→∞
6. Betrachtet wird die Funktion f (x) = (1 + 4x)−1 .
(a) P
Zeigen Sie, daß f (x) an der Stelle x0 = a = 0 die Taylorreihe
∞
k k k
k=0 (−1) 4 x hat. Auf den Beweis der Richtigkeit der n’ten Ableitung von f (x) kann ohne Punktverlust verzichtet werden. Bestimmen
Sie alle x, in denen die Reihe konvergiert.
(b) Geben Sie für f (x) an der Stelle x0 = a = 0 das Taylorpolynom n’ten
Grades Pn (x) und das Restglied Rn+1 (0, x) an.
(c) Zeigen Sie, daß für x =
übereinstimmt.
1
64
der Wert der Taylorreihe aus (a) mit f (x)
1
) durch das
(d) Schätzen Sie den Fehler ab, der bei der Näherung von f ( 64
1
Taylorpolynom 2.Grades P2 ( 64 ) entsteht.
(Hinweis: Für den Beweis der Richtigkeit der n’ten Ableitung gibt es 3
Zusatzpunkte.)
4