FK04 Mathematik I: ¨Ubungsblatt 1

FK04 Mathematik I: Übungsblatt 1
Verständnisfragen:
1. Was definieren die Peano-Axiome?
2. Wie lauten die Peano-Axiome?
3. Welche Rechengesetze gelten für die Multiplikation in N?
4. Wann nennt man eine Menge M abzählbar?
5. Was bedeutet es, dass die natürlichen Zahlen diskret liegen?
6. Welche der Ihnen bekannten Rechengesetze gelten in Z nicht?
7. Wie kann man die Menge Z \ N noch schreiben?
8. Wie bezeichnet man Q zusammen mit den geltenden Rechengesetzen (AG, KG, EN, EI, DG) für die
Multiplikation und Addition?
9. Zusätzlich zu den Rechengesetzen in Q gelten noch vier Vereinbarungen zu den Rechengesetzen. Um
welche handelt es sich?
10. Wie lautet die Dezimalbruchdarstellung von 26−1 ?
11. Wie lautet die Darstellung von 0, 12123 als Bruch?
12. Wie liegen die Elemente in Q?
13. Welche Elemente enthält die folgenden Menge R \ Q?
14. Was bedeutet es, dass R wohlgeordnet ist?
15. Welche Regeln gelten für den Absolutbetrag?
16. Was versteht man unter halboffenen Intervallen und was unter unbeschränkten ?
17. Was gehört zur Definition einer Funktion?
18. Was versteht man unter dem Bild einer Funktion?
19. Wann heißt eine Funktion injektiv?
20. Die Umkehrfunktion zu einer Funktion f : M → N bildet zwischen welchen zwei Mengen ab?
21. Welche Voraussetzungen müssen für die zwei Funktionen f : M → N und g : K → L erfüllt sein,
damit die Verkettungen f ◦ g und g ◦ f definiert sind?
22. Wann nennt man eine Funktion f : Df → Wf streng monoton fallend auf Df ?
23. Was wäre ein Beispiel dafür, dass f ◦ g 6= g ◦ f ?
24. Wann heißt eine Funktion f : Df → Wf beschränkt?
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Aufgaben:
1. Zeigen Sie, dass die Menge der Quadratzahlen abzählbar ist und geben Sie für diese Menge eine
Mengendarstellung in beschreibender Form an.
2. Zeigen Sie, dass die Menge der geraden Zahlen und die der ungeraden Zahlen gleich viele Elemente
enthalten. Wie viele sind es?
3. Zeigen Sie, dass für jede Zahl n aus folgender Menge
{x ∈ Z | 10 ≤ x ≤ 99}
gilt, dass man, wenn man die Quersumme von n bildet und diese von n subtrahiert, eine durch 9
restlos teilbare Zahl erhält.
4. Zeigen Sie anhand der Definition des Absolutbetrags durch direkte Verifikation, dass |x · y| = |x| · |y|
gilt.
5. Zeigen Sie nun, dass |x : y| = |x| : |y| gilt.
√
6. Berechnen Sie 115 auf fünf Nachkommastellen genau mittels des Heronverfahrens (x0 = 1).
7. Zeigen Sie, dass ∀ a, b ∈ R+ gilt:
a+b √
≥ a·b
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8. Rechnen Sie die folgenden Dezimalbrüche in Brüche um:
0, 0013 ;
0, 04 ;
12, 0012
9. Zeichnen Sie den Graphen der sog. Gaußklammer, [ . ] : D → R, mit D = [−5; 5], wobei [x] die größte
ganze Zahl angibt, welche kleiner gleich x ist und formulieren Sie [ x ] als abschnittweise definierte
Funktion auf D.
10. Betrachten Sie die Funktionen
f1 (x) =
p
1
, f2 (x) = |x| − x.
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1+x
(a) Bestimmen Sie den Definitions- und den Wertebereich beider Funktionen.
(b) Prüfen Sie, ob die Funktionen injektiv, surjektiv oder bijektiv sind.
(c) Welche der Funktionen ist beschränkt?
(d) Welche der Funktionen ist streng monoton wachsend?
(e) Bestimmen Sie f1−1 ({0}) und f2−1 ({0}).
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