Mathematik für Studierende der Biologie — 23.11.2016

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN
FAKULTÄT
FÜR
BIOLOGIE
Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler
Department Biologie II
Großhadernerstr. 2
82152 Planegg-Martinsried
6. Übung
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email: [email protected]
Telefon: 089-2180-74800
Fax: 089-2180-74803
Mathematik für Studierende der Biologie
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23.11.2016
Abgabe am 29.11.2016 vor der Vorlesung. Die Aufgaben werden in den Tutorien vom 1., 2. und 5.
Dezember besprochen. Aktuelle Infos und Übungszettel finden Sie unter:
http://neuro.bio.lmu.de/teaching/mathe-bio_ws16-17/index.html
1. (Reihen)
Diskutieren Sie die nachstehenden Reihen nach folgendem Schema:
i) Ist die Reihe monoton, nicht monoton oder streng monoton?
ii) Konvergiert oder divergiert die Reihe?
iii) Ist die Reihe nach oben und/oder nach unten beschränkt?
Begründen Sie Ihre Antworten formal! (k, l, m, n, µ ∈ N)
P
P
(b) hl = lµ=1 √1µ
(a) sn = nk=1 32k
(c) am =
Pm
2
n=1 ln(n)
Hinweis: Vergleichen Sie die Reihen mit im Skript behandelten Reihen (Kapitel 5.4 und 5.5).
2. (Reihen)
Erfinden Sie Reihen mit den folgenden Eigenschaften und begründen Sie Ihre Antworten.
(a) Divergent und beschränkt.
(b) Konvergent und nicht monoton.
(c) Streng monoton, nach oben beschränkt und nicht nach unten beschränkt.
3. (Komplexe Zahlen)
Lösen Sie die Gleichungen (z ∈ C):
(a)
z = (1 − i)z̄
(b)
(c) z 2 = z̄ 2
iz = z̄
2iz = −
(d)
1 + z̄
1+i
4. (Komplexe Zahlen) Gelten für beliebige komplexe Zahlen folgende Relationen?
(z̄)n = (z n )
(a)
(b)
cos(2z) = cos(z)2 − sin(z)2
Hinweis: (a) Polarkoordinaten. (b) Exponentialdarstellung.
5. (Integration)
Berechnen Sie folgende elementare Integrale:
Z 3
Z 1
(a)
−p2 dp
(b)
(z + 2)2 dz
−3
2
Z
(d)
r−1 dr
−1
0
Z
(e)
0
(g)
−1
e−2x dx
Z
(h)
−2
2
1
−7e−x dx
Z
x2 + 1
dx
2x
3
3y ln(3)dy
(f)
−1
2
1
Z
Z
(c)
0
(y 3 − 2y) dy
Z
(i)
2
(3x2 + 1) dx
0
(bitte wenden)
6. (Integration)
Berechnen Sie die folgenden Integrale. Hierbei müssen Sie selbst entscheiden, wie Sie vorgehen (z.B.
Substitution, partielle Integration oder direkt).
Z
2
Z
2
x dx
(a)
6x dx
Z
(f)
(i)
∞
e
−2x
Z
dx
(j)
0
1
π
sin(x2 ) x dx
(c)
Z
6x2 + 4x3 dx
Z
(g)
t−1
dt (k)
(3 − 2t + t2 )2
Z
4x3 dx
1
∞
Z
e−x dx
1
2x e2x dx
(h)
0
0
∞
2
(d)
0
2
1
0
Z
Z
1
π
x sin(x) dx
(e)
2
(b)
1
Z
√
2
3
2 1/3
r(9 − r )
−3
Z
dr
a
(l)
0
√
x
dx
+ x2
a2
7. (Integration)
Ihr Auto ist liegengeblieben. Sie drücken mit konstanter Kraft für die Zeitdauer T gegen das Auto,
wodurch dieses mit der Geschwindigkeit v1 (t) = 1 − exp(−bt) mit b ∈ R+ und t ∈ [0, T ] bewegt wird.
Danach verringert sich die Geschwindigkeit des Autos gemäß v2 (t) = v1 (T ) exp(−b(t − T )) für t > T .
Wie lange müssen Sie drücken, damit das Auto eine vorgegebene Distanz d zurücklegt (gemessen ab
t = 0)? (Einfachheitshalber sind alle Größen dimensionslos.)
R∞
RT
Hinweis: d = 0 v1 (t)dt + T v2 (t)dt
8. (Integration)
Der Querschnitt eines 100 Meter langen Schiffes sei gegeben durch die folgende Funktion:
f (x) =
x2
6
An der Wasseroberfläche ist das Schiff 20 Meter breit.
(a) Wie viel Wasser verdrängt es?
(b) Berechnen Sie den Tiefgang des Schiffes?
(c) Wie viel mehr Meerwasser würde es verdrängen, läge es 2 Meter tiefer im Wasser?