Ergänzende Hilfestellungen zum Tutorium Funktionen

Ergänzende Hilfestellungen zum
Tutorium Funktionen
Fakultät für Mathematik
Universität Bielefeld
Sommersemester 2015
Veröffentlicht am 06. Juli 2015 von
Mirko Getzin
E-Mail: [email protected]
Tutor der Vorlesung Funktionen im Sommersemester 2015
Inhaltsverzeichnis
1 Vorwort
1
2 Ausgewählte Kapitel der Vorlesung
3
2.1
Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Mengentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Abbildungen und Injektivität, Surjektivität, Bijektivität . . . . . . . . . .
6
2.4
Zahlenfolgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5
Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.1
Hilfreiche Anmerkungen beim Abschätzen . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6
Vollständigkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8
Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9
Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.10 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.11 Taylorformel und Restgliedabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Spezielle Funktionstypen
23
3.1
Affin-Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2
Quadratische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3
Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4
Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5
Sinus und Kosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.1
Graphentransformation des Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5.2
Additionstheoreme und trigonometrischer Pythagoras . . . . . . . . 26
3.5.3
Ableitungen und Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i
Kapitel 1
Vorwort
Dieses Dokument dient den HörerInnen der Vorlesung Funktionen im Sommersemester
2015, ausgewählte Kapitel der Vorlesung aufzubereiten und ein tieferes Verständnis der
Vorlesungsinhalte anhand diverser Beispiele zu vermitteln. Es handelt sich hierbei um eine inoffizielle Ergänzung der Vorlesung, welche keinerlei Rückschlüsse auf mögliche
Prüfungs- und Klausurinhalte zulässt. Die Auswahl der dargestellten Inhalte erfolgte ausschließlich anhand der subjektiven Einschätzung des Autors und orientiert sich somit an
den Übungszetteln, Präsenzübungen und Vorlesungsinhalten.
Das Dokument hat den Anspruch, möglichst exakt und mathematisch präzise die Vorlesungsinhalte aufzubereiten und stellenweise zusammenzufassen, jedoch sind auch vereinfachte Veranschaulichungen und Beispiele mit einigen Auslassungen enthalten. Auf
Beweise von Sätzen der Vorlesung wird verzichtet.
Das Dokument hat nicht den Anspruch, eine vollständige Kurzzusammenfassung der Vorlesung Funktionen zu sein. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung dieses Dokuments
ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokuments erlaubt.
Viel Erfolg beim Bearbeiten der Inhalte dieses Dokuments. Einige ausgewählte Aufgaben
werden in den anstehenden Zusatztutorien (montags 18-20 Uhr) besprochen.
Kurzüberblick zur Vorlesung
Die Vorlesung Funktionen hat gemäß Modulbeschreibung das Ziel, den Funktionsbegriff
adäquat einzuführen und spezielle Funktionstypen genauer zu untersuchen. Diese speziellen Funktionstypen beschränken sich weitestgehend auf Potenzfunktionen und allgemeine
Polynome, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und die trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus. Hierbei handelt es sich zugleich auch um
die gängigen Funktionstypen, welche man zumeist in der Schule kennenlernt.
In der ersten Vorlesungshälfte war ein zentrales Thema die Vervollständigung der reellen
Zahlen (Lückenlosigkeit der reellen Zahlengerade). Hierzu war es nötig, die bekannten
Zahlbereiche kurz einzuführen und Folgen innerhalb dieser Zahlbereiche zu betrachten.
1
Folglich wurde die Vollständigkeit der reellen Zahlen damit identifiziert, dass in den reellen
Zahlen jede Cauchy-Folge konvergiert. Abschließend wurden weitere Charakterisierungen
für die Vollständigkeit der reellen Zahlen vorgenommen, beispielsweise über die Existenz
von Suprema und Infima von beschränkten Teilmengen der reellen Zahlen.
Nachdem dann über einen langen Zeitraum verschiedene Eigenschaften von Funktionen
(beispielsweise Bijektivität, Monotonie, Beschränktheit, Stetigkeit und Differenzierbarkeit) von einem theoretisch-fachwissenschaftlichen Standpunkt aus eingeführt wurden,
werden nun - gegen Ende der Vorlesung - die genannten Funktionstypen nochmals genauer betrachtet und auf diese Eigenschaften überprüft. Hierbei wird die Transformation
von Graphen (Streckung, Spiegelung, Verschiebung an Achsen, ...) nochmals eine Rolle
spielen, aber auch der die punktweise Approximation von Funktionen wird anhand der
Taylorformel schließlich noch aufgegriffen.
Abschließende Bemerkung zur Vorlesung
Nach Abschluss der Vorlesung sollte der angehende Lehramtskandidat wissen, welche elementaren Funktionstypen es gibt und er bzw. sie sollte diese auch unterscheiden können.
Darüber hinaus sollten Eigenschaften von Funktionen am Graphen veranschaulicht werden können und mit Hilfe der Definitionen und Sätze nachgewiesen werden können. Als
didaktische Komponente sollte der Leser sich anschließend Gedanken darüber machen,
wo die eigenen Schwierigkeiten beim Lernen vieler Inhalte lagen: eure Schülerinnen und
Schüler werden auf ähnliche Probleme trotz didaktischer Reduzierung stoßen!
Wie also könnt ihr diese Probleme umgehen, lösen oder SchülerInnen zugänglicher machen? Dies ist eine zentrale Frage, die jeder Hörer und jede Hörerin der Vorlesung sich
einmal stellen sollte, bevor man sich darüber beschwert, dass die Vorlesungsinhalte fern
vom Schulstoff seien.
2
Kapitel 2
Ausgewählte Kapitel der Vorlesung
2.1
Aussagenlogik
Die Aussagenlogik ist das Grundgerüst des mathematischen Formalismus. Durch Formulierungen von Definitionen und Sätzen oder durch Lemmas und Korollar werden mathematische Inhalte sinnvoll ausgedrückt. Wie diese Definitionen tatsächlich zusammenhängen,
dies lässt sich mit Hilfe der Aussagenlogik beschließen und begründen.
So kann es zu einer Aussage A beispielsweise eine Aussage B, die aus A folgt. Hierbei
handelt es sich um eine Implikation und wir schreiben kurz A ⇒ B. Neben ⇒ gibt es
weitere logische Operatoren, welche zwischen Aussagen operieren. So gibt es das logische
Und ∧ und das logische Oder ∨ oder die Negation einer Aussage ¬.
Wir stellen den Zusammenhang von zwei Aussagen über Operatoren mit Hilfe von Wahrheitstabellen dar. Es folgt eine Tabelle mit den wichtigsten Operatoren, die zwischen zwei
Aussagen A und B operieren.
Abb. 2.1: Wahrheitstafel für die grundlegenden logischen Operatoren.
Wir bemerken, dass die Äquivalenz (Gleichbedeutsamkeit) ⇔ von Aussagen darüber definiert ist, dass A ⇒ B ∧ B ⇒ A (“Aus A folgt B und aus B folgt A“) gilt. Ebenso ist die
Implikation darüber definiert, dass A ⇒ B gleichbedeutend ist mit ¬A ∨ B gilt.
Wichtig: Die Wahrheitstabelle zur Implikation liefert uns, dass aus falschen Aussagen jede
beliebige Aussage als wahr folgen kann. Dies ist ein Grundprinzip in der Mathematik, so
dass wir nur von wahren Aussagen her logische Folgerungen knüpfen können.
3
Die Beweisprinzip der Kontraposition und der Beweis per Widerspruch lassen sich ebenfalls sehr leicht mit Hilfe von Aussagenlogik und Wahrheitstabellen zeigen. Wir führen
dies in einem Beispiel durch.
Beispiel 2.1 (Kontraposition).
Das Beweisprinzip der Kontraposition ermöglicht es uns, bei Implikationsaussagen A ⇒ B
die äquivalente Aussage ¬B ⇒ ¬A zu zeigen und daraus die ursprüngliche Behauptung
zu zeigen. Der Beweis von (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬B) ist per Wahrheitstabelle zu führen,
indem man zeigt, dass die Einträge von A ⇒ B und von ¬B ⇒ ¬A stets die gleichen
sind, d.h. die Aussagen sind äquivalent.
A B
¬A
¬B
A⇒B
¬B ⇒ ¬A
(A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬B)
w
w
f
f
w
w
w
w
f
f
w
f
f
w
f
w
w
f
w
w
w
f
f
w
w
w
w
w
Abb. 2.2: Wahrheitstafel zur Kontraposition.
Aus letzten Spalte folgt die Behauptung, weil jeder Eintrag wahr ist, d.h. die beiden
vorangegangenen Implikationen sind äquivalent. Ein Alternativbeweis ist direkt über die
Definition der Äquivalenz und Implikation möglich.
2.2
Mengentheorie
Mengen sind in der Mathematik jene Objekte, welche für Veranschaulichungen wichtig
sind oder es ermöglichen, Elemente mit gleichen Eigenschaften kurz zusammenzufassen.
Es gibt also eine aufzählende Schreibweise von Mengen und eine Schreibweise, welche die
Eigenschaften der zusammengefassten Elemente bezeichnet.
Die Elemente einer Menge kommen stets nur einzeln vor, es gilt also beispielsweise
{1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.
Wir streichen also die doppelten Elemente und erhalten dieselbe Menge. Wenn wir zwei
Mengen miteinander vergleichen, so können diese Teilmengen voneinander sein, gleich
sein, disjunkt sein oder vereinzelt gemeinsame Elemente besitzen. Wir schreiben
4
• A ⊂ B, wenn alle Elemente von A auch in B enthalten sind. In diesem Fall heißt A
echte Teilmenge von B.
• A ⊃ B, wenn alle Elemente von B auch in A enthalten sind. In diesem Fall heißt A
Obermenge von B. Beachte, dass nun B echte Teilmenge von A ist.
• A = B, wenn alle Elemente von A in B enthalten sind und umgekehrt.
• Mit den Symbolen ⊆ und ⊇ fassen wir die vorherigen Fälle der Mengeninklusionen
zusammen, vergleichbar mit den bekannten Zeichen <, ≤, >, ≥ für Zahlen. Es gilt
also A = B, falls A ⊆ B und B ⊆ A gilt. Letztere Eigenschaft ist als wechselseitige
Mengeninklusion bekannt.
• A ∩ B, wenn wir die gemeinsamen Elemente der Mengen, also den Durchschnitt ∩
der Mengen A und B, betrachten.
• A∪B, wenn wir alle Elemente der Mengen A und B in einer Menge zusammenfassen
wollen. Wir bezeichnen mit ∪ die Vereinigung von Mengen.
• A \ B für die Mengendifferenz, also nehmen wir aus der Menge A alle Elemente
heraus, die auch in B enthalten sind.
Die genauen Definitionen der Mengenoperationen sind dem Vorlesungsskript zu entnehmen, denn die obige Auflistung soll nur eine heuristische Konstruktionsstrategie für diese
Mengen angeben.
Es folgen Beispiele von Mengen.
Beispiel 2.2 (Typen von Mengen).
Aufzählende Schreibweise: Die Menge aller natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Schreibweise gemäß Eigenschaften: Die Menge NG aller geraden natürlichen Zahlen {n ∈
N|n = 2m für ein m ∈ N}.
Beispiel 2.3 (Intervalle).
Besonders relevante Mengen für diese Vorlesung stellen Intervalle dar. Intervalle sind Teilmengen der reellen Zahlen R und stellen somit auf der Zahlengerade (bzw. Zahlenstrahl)
einen lückenlosen Zahlbereich dar. Die Lückenlosigkeit in den reellen Zahlen behandeln
wir im Abschnitt zur Vollständigkeit.
Abgeschlossenes Intervall: [a, b] := {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}
5
Offenes Intervall: (a, b) := {x ∈ R|a < x < b}
Bei halboffenen Intervallen ist jeweils nur eine Grenze offen und eine abgeschlossen.
Nun überlegen wir uns, wie wir Mengenidentitäten zeigen. Dies wurde in der Vorlesung
eingeführt und durchgeführt mit Hilfe des Prinzips der “wechselseitigen Mengeninklusion“.
Satz 2.4 (Wechselseitige Mengeninklusion).
Es seien A und B zwei Mengen. Die Gleichheit A = B gilt genau dann, wenn A ⊆ B und
B ⊆ A gleichzeitig gelten.
Beispiel 2.5 (Symmetrische Differenz).
Wir zeigen die Identität der symmetrischen Differenz. Seien A, B, C Mengen.
Zu zeigen: (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Beweis. Es seien A, B, C beliebige Mengen. Es sind die Identitäten (A∪B)∩C ⊆ (A∩C)∪
(B ∩ C) und (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ C zu zeigen. Dies wurde in der Vorlesung (und
in der ersten Übung) getan, indem die Definitionen der Mengenoperationen nacheinander
angewandt wurden und die Mengen entsprechend umgeformt wurden.
Natürlich kann man auch Mengen von mehrkomponentigen Elementen betrachten. Hierzu
nutzt man das kartesische Produkt ×, um diese Elemente in Mengen zu vereinigen. Wenn
wir also Elemente der Form (x, y) in Mengen zusammenfassen wollen, so können wir im
Fall x ∈ A und y ∈ B die Menge aller so genannten Tupel (x, y) schreiben als A × B.
Wichtig ist hierbei die Reihenfolge der Elemente im Tupel! Es ist A × B 6= B × A.
Definition 2.6 (Relation).
Eine Relation ist eine Teilmenge eines kartesischen Produkts. Sind also A und B Mengen
und A × B ihr Produkt, so ist eine Menge R mit R ⊆ A × B eine Relation zwischen den
Mengen A und B.
2.3
Abbildungen und Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
In dieser Vorlesung behandeln wir F unktionen, einen besonderen Fall von Abbildungen.
Funktionen sind Abbildungen, welche reellwertig sind, also als Wertevorrat eine reelle
Teilmenge besitzen. Um die Theorien und Eigenschaften von Funktionen zu verstehen,
benötigen wir zunächst den allgemeinen Begriff der Abbildung.
6
Definition 2.7 (Abbildung).
Eine Relation R zwischen zwei Mengen A und B heißt Abbildung, falls die folgenden zwei
Bedingungen erfüllt sind:
(i) ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B : (a, b) ∈ R.
(ii) a ∈ A ∧ b, b0 ∈ B so dass (a, b) ∈ R und (a, b0 ) ∈ R, dann folgt b = b0 .
Eine Abbildung ist also eine Relation, bei der man jedem a ein b derart zuordnen kann,
dass (a, b) in der Relation enthalten ist und dass jedem a nur ein b zugeordnet werden
kann. Wir sagen auch, dass das Bild b von a unter R eindeutig ist.
Dieser Abbildungsbegriff erfüllt sämtliche Vorstellungen einer Abbildung oder Zuordnungsvorschrift, wie man sie in der Schule kennengelernt hat. Mit der üblichen Bezeichnung x und f (x) für eine Abbildung f : A → B beschreiben wir also eine Abbildung von
dem Definitionsbereich A in die Wertevorratsmenge B. Es gilt dann, dass für alle x ∈ A
ein f (x) ∈ B existiert. Während f (x) das Bild von x unter f bezeichnet, ist x das Urbild
zu f (x).
Bemerkung 2.8.
Die Eindeutigkeit der Urbilder ist gemäß der Definition nicht immer gegeben. Nur die
Bilder sind eindeutig gemäß der Definition. Ebenso müssen bei allgemeinen Funktionen
nicht alle Elemente der Wertevorratsmenge B ein Urbild besitzen. Deshalb ist die Menge
f (A) ⊂ B im Allgemeinen nur eine Teilmenge von B und wir nennen f (A) die Bildmenge
von A unter f . Die Bildmenge ist also stets mindestens eine Teilmenge des Wertevorrats.
Definition 2.9 (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität).
Seien A und B Mengen. Eine Abbildung f : A → B heißt
(i) injektiv, falls für alle a, a0 ∈ A gilt: Aus f (a) = f (a0 ) folgt, dass a = a0 . Wir sagen
also, dass bei injektiven Funktionen gleiche Bilder auch gleiche Urbilder besitzen.
Injektive Funktionen haben also ein eindeutiges Urbild x für jedes Bild f (x).
(ii) surjektiv, falls für alle b ∈ B existiert ein a ∈ A, so dass b = f (a).
(iii) bijektiv, falls die Abbildung f injektiv und surjektiv ist.
7
Wir stellen fest, dass die obigen Eigenschaften von Abbildungen sehr stark von der Wahl
des Definitionsbereichs und des Wertevorrats abhängen. Es folgen einige Beispiele, die
dies illustrieren.
Beispiel 2.10. (i) f : R → R, f (x) = 2x. Diese Funktion ist Injektiv, da für jedes Bild
genau ein Urbild existiert. Genauer: Seien x, y ∈ R, dann gilt f (x) = f (y) ⇔ 2x =
2x ⇒ x = y, die Definition von Injektivität ist also erfüllt. Diese Funktion ist auch
surjektiv, denn für jedes f (x) = y ∈ R existiert ein x ∈ R, so dass y = 2x gilt. Mit
x := y/2 ∈ R folgt nämlich die Surjektivität. Da f injektiv und surjektiv ist, ist f
auch bijektiv.
(ii) f : A → B, f (x) = x2 . Diese Funktion ist abhängig von der Wahl von A und B
injektiv, surjektiv und bijektiv. Für A, B = [0, ∞) ist die Funktion beispielsweise
Bijektiv, während sie für A = RundB = R weder injektiv ist (f (x) = 4 hat beispielsweise die Urbilder −2 und 2), noch surjektiv −1 ∈ R hat kein Urbild, da das
Quadrat einer beliebigen reellen Zahl nicht negativ wird. Dieses Beispiel wurde in
der Vorlesung auch behandelt.
In den obigen Beispiel haben wir den Begriff der Funktion bereits intuitiv verwendet. Wir
wollen ihn nun definieren.
Definition 2.11 (Funktion).
Wenn wir Abbildungen von reellen Zahlen betrachten, so sprechen wir von Funktionen.
Anders: Eine Funktion ist eine Abbildung mit reellwertiger Definitionsmenge und rellwertigem Wertevorrat.
Satz 2.12 (Existenz der Umkehrfunktion).
Seien A und B Mengen und die Funktion f : A → B bijektiv. Dann existiert eine Funktion
f −1 : B → A, so dass f ◦f −1 = idB und f −1 ◦f = idA . Wir bezeichnen mit idA bzw. idB die
Identitätsfunktionen auf den Mengen A und B, also beispielsweise idA : A → A, id(x) = x.
Andersherum gilt auch, wenn eine Funktion f −1 : B → A mit obigen Eigenschaften
existiert, dass dann f : A → B bijektiv ist.
Die Umkehrfunktion liefert also ein leicht nachweisbares Kriterium für die Bijektivität
einer Funktion. Außerdem können wir mit Hilfe der Umkehrfunktion Gleichungen von
Abbildungen algebraisch leichter auflösen, so wie es für die Multiplikation und Addition
beispielsweise schon in der Schule geschehen ist.
8
Beispiel 2.13. (i) Wir wollen zeigen, dass die Funktion f (x) = x2 bijektiv ist, falls
der Definitionsbereich und der Wertevorrat A, B = [0, ∞) sind. Behauptung: Die
√
Funktion f −1 : [0, ∞) → [0, ∞), f −1 (x) = x ist die Umkehrfunktion von f mit den
Wahlen von A und B wie zuvor.
Es gilt für jedes x ∈ [0, ∞], dass
√
√ 2
x2 = x = x . Also erhalten wir stets bei
Verknüpfung von f und f −1 mit der Komposition ◦ die Identitätsfunktion auf [0, ∞).
Es folgt, da f offenbar eine Umkehrfunktion besitzt, dass f bijektiv ist.
(ii) Jede affin-lineare Abbildung mit a 6= 0 von der Form f : R → R, f (x) = ax + b ist
invertierbar, d.h. eine Umkehrfunktion existiert. Es ist f −1 (x) =
x−b
a
die Umkehr-
funktion zu f. Wir folgern, dass jede affin-lineare Abbildung bijektiv ist.
2.4
Zahlenfolgen und Reihen
Zahlenfolgen bilden ein extrem wichtiges Werkzeug bei der Untersuchung von Funktionen.
Sie sind bei Monotonie, Stetigkeit, Differenzierbarkeit und sämtlichen Grenzwerprozessen
von großer Bedeutung. Wir beginnen mit der Definition einer Folge.
Definition 2.14 (Zahlenfolge).
Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung f : N → X, wobei X eine beliebige Zahlenmenge
ist. Wichtig bei dieser Definition ist, dass der Definitionsbereich nur natürliche Zahlen
zulässt. Statt f (n) schreiben wir auch an , um Zahlenfolgen von allgemeinen Funktionen
abzugrenzen.
Gemäß dieser Umschreibung bezeichnen wir also mit (an )n∈N Zahlenfolgen der Form
(a1 , a2 , a3 , ...).
Ist die Menge X eine Teilmenge der reellen Zahlen, so sprechen wir häufig auch von reellen
Zahlenfolgen.
Man kann Zahlenfolgen derart interpretieren, dass eine Art fortlaufende Liste hierdurch
generiert wird. So ordnen wir n = 1 den Wert a1 zu, n = 2 den Wert a2 und allgemein
dem n-ten Wert einer Folge den Wert an .
Wir können entsprechend Zahlenfolgen auflistend (siehe Definition oben) angeben oder
aber auch punktweise eine Zuordnungsvorschrift festlegen, beispielsweise (an )n∈N , definiert
durch an :=
1
n
∀ n ∈ N.
9
Wir wollen im Folgenden diverse Eigenschaften von Zahlenfolgen genauer betrachten und
deren Zusammenhang studieren.
Definition 2.15 (Beschränktheit von Folgen).
Eine Folge (an )n∈N heißt beschränkt, falls ein C > 0 existiert, so dass für alle n ∈ N gilt,
dass |an | ≤ C.
Beispiel 2.16.
Wir betrachten einige triviale Beispiele.
(i) Die Folge (an )n∈N , an :=
1
n
∀ n ∈ N ist beschränkt mit C = 1, da |an | = 1/n ≤ 1 für
alle natürlichen Zahlen gilt.
(ii) Die Folge (bn )n∈N , bn := (−1)n ∀ n ∈ N ist beschränkt mit C = 1, da |bn | =
|(−1)n | = 1 für alle natürlichen Zahlen gilt.
(iii) Die Folge (cn )n∈N , cn :=
(−1)n +3
n
∀ n ∈ N ist beschränkt mit C = 2.
Definition 2.17 (Cauchy-Folge).
Es sei (an )n∈N eine Zahlenfolge. Die Folge heißt Cauchy-Folge, falls folgende Bedingung
erfüllt ist:
∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) ∈ N ∀ m, n ≥ N (ε) : |an − am | < ε.
(2.1)
Im Allgemeinen ist N = N (ε) abhängig von ε. Anschaulich bedeutet die Cauchy-Bedingung
für eine Folge, dass ab dem Wert N = N (ε) die Folgenglieder dauerhaft höchstens den
Abstand ε voneinander haben und dass für jeden festgelegten Abstand der Folgenglieder
ein Zeitpunkt N existiert, ab dem diese Eigenschaft erfüllt ist.
In der Cauchybedingung (2.1) zeigen uns die Quantoren ∀ und ∃, wie wir solche Eigenschaften per Definition zu beweisen haben. Wir wollen in solchen Beweisen eine geeignete
Abschätzung von |an − am | nach ε finden, wobei wir uns für diese Abschätzung das N (ε)
wählen müssen, weil die Bedingung einen Existenzquantor ∃ vorsieht, während wir ε > 0
und n, m ≥ N (ε) beliebig setzen können wegen des Allquantors ∀.
Beispiel 2.18 (Cauchybedingung).
Wir zeigen, dass an :=
2
n
+ 1 ∀ n ∈ N eine Cauchy-Folge ist.
Sei ε > 0 beliebig. Wähle N = N (ε) > 4ε , so dass N ∈ N. Dann gilt für alle n, m ≥ N (ε):
2
1
2
1 2
4
|an − am | = + 1 −
− 1 ≤ 2 · + ≤ 2 ·
= < ε.
n
m
n m
N (ε)
ε
10
Dabei ging die Dreiecksungleichung bei der ersten Abschätzung ein und bei der zweiten Abschätzung die Tatsache, dass m, n ≥ N (ε). Da ε > 0 beliebig gewählt, folgt die
Behauptung.
Neben der Cauchybedingung für Zahlenfolgen spielt auch die Konvergenz von Folgen eine
große Rolle in der Vorlesung. Die Berechnung von Grenzwerten, sowie Konvergenzaussagen lassen sich mit Hilfe der folgenden Definition treffen.
Definition 2.19 (Konvergenz von Zahlenfolgen).
Es sei (an )n∈N eine Zahlenfolge. Die Folge heißt konvergent mit Grenzwert a, falls folgende
Bedingung erfüllt ist:
∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) ∈ N ∀ n ≥ N (ε) : |an − a| < ε.
(2.2)
Wir schreiben in dem Fall auch lim an = a.
n→∞
Wir erkennen, dass die Konvergenzbedingung sehr stark der Cauchybedingung ähnelt. Der
einzige Unterschied besteht nun jedoch darin, dass wir nicht die Abstände der Folgenglieder an zu anderen Folgenglieder am ab einen gewissen Punkt N betrachten, sondern die
Abstände der Folgenglieder an zum vermuteten Grenzwert a. Ab dem Punkt N befinden
sich also alle weiteren Folgenglieder innerhalb eines ε-Schlauchs um den Grenzwert a. Dies
verdeutlicht die folgende Abbildung.
Abb. 2.3: ε-Schlauch um den Grenzwert L. Hier ist N = 6.
Satz 2.20 (Eigenschaften von Cauchy-Folgen und konvergenten Folgen).
Wir listen einige wichtige Eigenschaften von Zahlenfolgen auf.
11
(i) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
(ii) Jede Cauchy-Folge ist beschränkt. Insbesondere ist also jede konvergente Folge beschränkt.
(iii) In den reellen Zahlen konvergiert jede Cauchy-Folge, aufgrund der Vollständigkeit
von R. Im Allgemeinen konvergieren Zahlenfolgen, die die Cauchybedingung erfüllen,
nicht.
(iv) Ist eine Zahlenfolge monoton wachsend und nach oben beschränkt, so konvergiert
die Folge und das Supremum entspricht dem Grenzwert der Folge.
(v) Ist eine Zahlenfolge monoton fallend und nach unten beschränkt, so konvergiert die
Folge und das Infimum entspricht dem Grenzwert der Folge.
Im letzten Satz wurde der Begriff der Monotonie bereits verwendet. Diesem Begriff widmen wir den nächsten Abschnitt, weil er einen sehr bedeutsamen Stellenwert bei der
Untersuchung von Funktionen einnimmt.
Zum Abschluss dieses Abschnitts formulieren wir die Grenzwertsätze, welche das Berechnen von Grenzwerten häufig sehr erleichtern.
Satz 2.21 (Grenzwertsätze).
Die Grenzwertsätze liefern eine Rechenmethode für Grenzwerte von verknüpften Folgen als
Verknüpfung der Grenzwerte. Seien also (an )N und (bn )n∈N Zahlenfolgen mit Grenzwerten
a und b. Dann gilt für
(i) Summen und Differenzen:
lim an ± bn = lim an ± lim bn = a ± b,
(2.3)
lim an · bn = lim an · lim bn = a · b,
(2.4)
n→∞
n→∞
n→∞
(ii) Produkte:
n→∞
n→∞
n→∞
(iii) Quotienten: Falls bn 6= 0 ∀ n ∈ N, gilt
lim an
a
an
= n→∞
= .
n→∞ bn
lim bn
b
lim
n→∞
12
(2.5)
Bemerkung 2.22 (Anwenung der Grenzwertsätze).
BEACHTET DIE VORAUSSETZUNGEN! Die Sätze sind nur anwendbar, wenn die einzelnen Grenzwerte auch existieren.
Trick: Bei zusammengesetzten Folgen teilt durch jene Terme mit größter Konvergenzgeschwindigkeit. So erhaltet ihr konvergente Einzelfolgen und die Grenzwertsätze werden
anwendbar.
2.5
Monotonie
Die Monotonie einer Funktion, also auch einer Zahlenfolge, ermöglicht es, den Verlauf des
Graphen einer Funktion auf Steigungen zu überprüfen. Darüber hinaus kann man mit
Hilfe der Monotonie von beschränkten Folgen (also Folgen, deren Bildmenge beschränkt
ist) auch Konvergenzaussagen treffen, sofern man Infima und Suprema (siehe nächsten
Abschnitt) kennt.
Definition 2.23 (Monotonie).
Seien X, X 0 ⊆ R Mengen und f : X → X 0 eine Funktion. Seien weiter x, y ∈ X, so dass
x < y. Die Funktion f heißt
(i) monoton wachsend, falls f (x) ≤ f (y) für alle x, y ∈ X,
(ii) streng monoton wachsend, falls f (x) < f (y) für alle x, y ∈ X,
(iii) monoton fallend, falls f (x) ≥ f (y) für alle x, y ∈ X,
(iv) streng monoton fallend, falls f (x) > f (y) für alle x, y ∈ X.
Satz 2.24 (Äquivalente Monotonieberechnungen).
Wir können die obigen Monotoniebedingungen auch Umformen zu f (x) − f (y) ≤ 0 bzw.
mit <, > und ≥ auch. Dies ist nützlich bei additiv verknüpften Funktionen und Folgen.
Wir können für f (y) 6= 0 die obigen Monotoniebedingungen auch Umformen zu
f (x)
f (y)
≤1
bzw. mit <, > und ≥ auch. Dies ist nützlich bei multiplikativ verknüpften Funktionen und
Folgen.
Satz 2.25 (Monotoniekritierium der Ableitung).
Mit obigen Bedinungen ist die Funktion f
13
(i) monoton wachsend, falls f 0 (x) ≥ 0 ∀ x ∈ X,
(ii) streng monoton wachsend, f 0 (x) > 0 ∀ x ∈ X,
(iii) monoton fallend, falls f 0 (x) ≤ 0 ∀ x ∈ X,
(iv) streng monoton fallend, falls f 0 (x) < 0 ∀ x ∈ X.
2.5.1
Hilfreiche Anmerkungen beim Abschätzen
Abschätzungen sind im Rahmen dieser Vorlesung hilfreiche Werkzeuge gewesen, um Grenzwerte zu berechnen, Stetigkeit elegant zu zeigen oder Aussagen über Konvergenzgeschwindigkeiten zu treffen. Es folgen einige wenige Tricks und Anmerkungen, welche ihr kennen
solltet.
(i) | sin(x)| ≤ 1 und | cos(x)| ≤ 1 für alle x ∈ R.
(ii) Ist a > 0 eine positive Zahl, so gilt für alle x ∈ R+ :
1
x+a
≤ x1 . Wird also der Nenner
eines Bruchs minimiert, so wird der gesamte Bruch maximiert. Beachtet hierbei
die Vorzeichen, für negative Brüche müsste der Nenner maximiert werden, um den
Bruch zu maximieren.
(iii) Bei Cauchy- und Konvergenzbeweisen: Seien n, m ∈ N. Dann gilt n, m ≥ N (ε), wobei das N (ε) aus der Konvergenz- bzw. Cauchybedingung kommt. Mit dem letzten
Punkt erhalte also beispielsweise
1
n
≤
1
.
N (ε)
(iv) Beachtet stets, ob der abzuschätzende Term im Betrag steht. So kann eine “hohe
Negativität“ dazu führen, dass der Term “zu groß“ wird.
(v) Beachtet die Abschätzungen zur Konvergenzgeschwindigkeit aus den Übungen. Dort
2
habt ihr n! oder 2n gegeneinander abgeschätzt.
2.6
Vollständigkeit der reellen Zahlen
Dass die reellen Zahlen eine besondere Rolle unter allen Zahlbereichen spielen, wurde
(hoffentlich) schon im Mathematikunterricht der Schule klar. Bis zur Klasse 7 wurden so
sukzessive immer wieder neue Zahlbereiche eingeführt.
14
Die reelle Zahlengerade weist keinerlei Lücken auf. Dies ist eine besonders schöne Eigenschaft der reellen Zahlen, weil wir somit (beinahe) einschränkungsfrei auf den reellen
Zahlen operieren können (d.h. Infima bilden, Grenzwerte betrachten, Intervallschachtelung, usw.). Wir nennen die reellen Zahlen R also vollständig, weil die Zahlengerade
veranschaulicht keine Lücken mehr aufweist.
Abb. 2.4: Lückenlose reelle Zahlengerade mit natürlichen, ganzen, rationalen und irrationalen Zahlen.
Bemerkung 2.26 (Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterungen).
Die Zahlbereichserweiterungen N → Z → Q → R sind stets algebraisch einfach zu motivieren. Die Gleichung a + x = b hat in den natürlichen Zahlen nur eine Lösung x ∈ N,
falls b ≥ a gilt. Um diese Gleichung im Fall b < a lösen zu können, benötigt man die
ganzen Zahlen, so dass x ∈ mathbbZ ermöglicht wird.
Betrachtet man selbige Gleichung mit der Multiplikation a · x = b, so wird schnell klar,
dass für a, b ∈ Z nicht immer eine Lösung x ∈ Z existiert. Man erweitert die lückenhafte
Zahlengerade Z also um die rationalen Zahlen Q und schafft somit Brüche der Form
b
a
∈ Q, wobei b ∈ Z und a ∈ N ist. Beachte, dass somit a 6= 0 gilt.
Nun haben wir das Problem, dass selbst die Zahlengerade Q noch Lücken aufweist, nämlich
an den Stellen der irrationalen Zahlen. Diese können nämlich als Grenzwerte von rationalen Zahlenfolgen entstehen oder aber Suprema und Infima von rationalen Mengen sein.
Um diese Lücken zu schließen, wird die Zahlengerade Q also zu der reellen Zahlengerade
R vervollständigt. Dies habt ihr in der Vorlesung über Cauchyfolgen in Q und über ihre
Grenzwerte eingeführt.
Der Prozess der Vervollständigung der reellen Zahlen kann über verschiedene Charakterisierungen erfolgen. Hierzu sind noch weitere Definitionen notwendig, welche wir zunächst
betrachten wollen.
Definition 2.27 (Supremum und Infimum).
Es sei A eine Menge. Dann bezeichnen wir mit sup A das Supremum von A, also die
kleinste obere Schranke der Menge A. Mit inf A bezeichnen wir entsprechend analog das
Infimum von A, also die größte untere Schranke.
15
Genauer lässt sich das Supremum und Infimum mit Hilfe des ε-Formalismus darstellen,
darauf verzichten wir hier jedoch. Ist das Supremum einer Menge auch in dieser Menge
enthalten, so bezeichnen wir dieses Element auch als Maximum. Analog bezeichnen wir ein
in der Menge enthaltenes Infimum als Minimum der Menge. Die Existenz von Suprema
und Infima ist in R immer gewährleistet, jedoch nicht die Existenz der Maxima und
Minima.
Beispiel 2.28.
Das offene Intervall (a, b) hat inf(a, b) = a und sup(a, b) = b, während Minimum und
Maximum nicht existieren, da a, b 6∈ (a, b).
Satz 2.29 (Intervallschachtelung).
Eine Intervallschachtelung ist eine Folge von Intervallen In := [an , bn ], wobei die Grenzen
von In nicht notwendigerweise in In enthalten sein müssen. Dabei ist (an ) eine monoton
wachsende Folge und (bn ) eine monoton fallende Folge. Gilt ferner lim bn − an = 0,
n→∞
so existiert genau ein Element im Durchschnitt aller Intervalle In . Das Element ist der
Grenzwert der beiden Folgen (an ) und (bn ).
Bemerkung 2.30 (Bisektionsverfahren).
Das Bisektionsverfahren oder auch Intervallhalbierungsverfahren ist ein Sonderfall für
den Zwischenwertsatz, bei dem man Nullstellenprobleme lösen möchte und somit diese
Lösungen schließlich auch abschätzt. Ich empfehle nachdrücklich zur Klausurvorbereitung
das Bisektionsverfahren für die Funktion f (x) := x3 − 2 durchzuführen, um die Nullstelle
√
3
2 abzuschätzen. Der folgende Link führt zu einer schönen Erklärung der rekursiven
Vorschrift, welche man schrittweise berechnen:
http://www.mathepedia.de/Bisektionsverfahren.aspx
Wir kommen zum Hauptsatz zur Vollständigkeit der reellen Zahlen R.
Satz 2.31 (Charakterisierung der Vollständigkeit von R).
Es sind folgende Eigenschaften für die reellen Zahlen äquivalent zur Vollständigkeit von
R, d.h. die Eigenschaften charakterisieren die Vollständigkeit.
(i) Die Intervallschachtelungseigenschaft ist erfüllt, d.h. jede Intervallschachtelung reeller Zahlen enthält eine reelle Zahl.
(ii) Jede reelle Cauchy-Folge konvergiert, d.h. jede Cauchy-Folge besitzt einen Grenzwert
a ∈ R.
16
(iii) Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge M ⊂ R besitzt ein Supremum.
(iv) Jede nichtleere, nach unten beschränkte Menge M ⊂ R besitzt ein Infimum.
(v) Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge ist konvergent.
(vi) Anmerkung: Dedekindsche Schnitte ermöglichen auch eine Charakterisierung.
2.7
Stetigkeit
Stetigkeit ist eine fundamentale Eigenschaft von Funktionen und deren Graphen. Geometrisch veranschaulicht bedeutet die Stetigkeit einer Funktion, dass der Graph der Funktion
im Definitionsbereich keine Lücken aufweist. Anders gesagt entstehen keine “Sprünge“ des
Graphen, so dass man den Graphen theoretisch in einem Zuge (ohne den Stift abzusetzen)
zeichnen kann - vorausgesetzt der Definitionsbereich ist beispielsweise ein Intervall.
Definition 2.32 (Stetigkeit per Folgenkriterium).
Es sei D ⊂ R eine reelle Teilmenge (meistens ein Intervall). Eine Funktion f : D → R
heißt stetig im Punkt a ∈ D, falls für alle Folgen (an )n∈N mit lim an = a gilt, dass
n→∞
lim f (an ) = f (a).
n→∞
Eine Funktion heißt stetig, wenn sie stetig in jedem Punkt a ∈ D ist.
Wir können also den Limes von Funktionen bei stetigen Funktionen in das Argument
ziehen und dort den Grenzwert bilden. Äquivalente Formulierungen der Stetigkeit per
ε − δ-Formalismus ersparen wir uns im Rahmen dieser Vorlesung weitestgehend.
Tatsächlich ist das Nachrechnen von Stetigkeit per Definition sehr unhandlich. Hierzu
haben wir die so genannten Stetigkeitssätze als sinnvolle Werkzeuge, um Stetigkeit verknüpfter Funktionen sehr schnell zu folgern.
Satz 2.33.
Seien f, g stetige Funktionen mit “geeignetem“ Definitionsbereich und Wertevorrat, d.h.
die folgenden Verknüpfungen von f und g seien wohldefiniert. Dann gilt:
(i) Die Funktionen f ± g sind stetig. Dabei gilt (f ± g)(x) = f (x) ± g(x). Summen und
Differenzen von stetigen Funktionen sind also stetig.
(ii) Die Funktion f · g ist stetig. Dabei gilt (f · g)(x) = f (x) · g(x). Produkte von stetigen
Funktionen sind also stetig.
17
(iii) Sei g(x) 6= 0 auf dem gesamten Definitionsbereich von g. Die Funktion
Dabei gilt ( fg )(x) =
f (x)
.
g(x)
f
g
ist stetig.
Quotienten von stetigen Funktionen mit nicht verschwin-
denden Nenner sind also stetig.
(iv) Die Funktionen f ◦ g bzw. g ◦ f sind stetig. Dabei gilt (f ◦ g)(x) = f (g(x)) und
(g ◦ f )(x) = g(f (x)). Kompositionen von stetigen Funktionen sind also stetig.
Mit Hilfe der Grenzwertsätze können wir nun verknüpfte Funktionen sehr schnell als stetig identifizieren, indem wir stetige Beispielfunktionen darin erkennen, wie diese verknüpft wurden. Es wurde in der Vorlesung gezeigt, dass die Betragsfunktion x 7→ |x|,
√
die Wurzelfunktion x 7→ x, sowie die Logarithmusfunktion, Exponentialfunktion, Sinusund Kosinusfunktion und alle Polynomfunktionen stetig sind. Insbesondere sind konstante
Funktionen und die Identitätsfunktion stetig.
Gegenbeispiele von nicht-stetigen Funktionen bilden diverse zusammengesetzte Funktionen, wie beispielsweise Treppenfunktionen.
Ist nun eine Funktion stetig, so können wir mit Hilfe dieser Eigenschaft einige Sätze auf
die Funktion anwenden, welche elegante Nachweise von weiteren Funktionseigenschaften
ermöglichen. Es folgen die wichtigsten Stetigkeitssätze mit einigen Anwendungen.
Satz 2.34 (Satz vom Minimum und Maximum).
Seien a, b ∈ R mit a < b. Die Funktion f : [a, b] → R sei stetig. Dann ist die Funktion f
beschränkt und es existiert eine Minimalstelle und eine Maximalstelle.
Bemerkung 2.35.
Insbesondere ist die Bildmenge f ([a, b]) also eine beschränkte Menge. Beachte, dass unter
Voraussetzungen des Satzes immer beide Typen von Extremstellen in diesem Fall existieren. Wir nutzen diesen Satz, um Beschränktheit von Bildmengen bzw. von Funktionen zu
beweisen. Durch Anwendung dieses Satzes ist es häufig nicht nötig, Extremstellen explizit
zu berechnen, um Beschränktheit einer Funktion zu folgern.
Der Beweis des Satzes ist eine Anwendung der Intervallschachtelung durch sukzessive
Bisektion der Intervalle.
Beispiel 2.36 (1. Anwendung des Satzes vom Minimum und Maximum).
Betrachte die Funktion f : [0, 2π] → R, f (x) = 2 sin(x) + 9. Die Funktion f ist stetig als
Summe und Produkt stetiger Funktionen. Außerdem ist f auf dem beschränkten Intervall
[0, 2π] definiert, so dass wir mit dem Satz folgern, dass f beschränkt ist. Insbesondere ist
18
die Menge f ([0, 2π]) beschränkt, in der Tat gilt f ([0, 2π]) = [7, 11]. f besitzt also (mindestens) eine Minimalstelle mit Funktionswert 7 und eine Maximalstelle mit Funktionswert
11.
Beispiel 2.37 (2. Anwendung des Satzes vom Minimum und Maximum).
Betrachte die Funktion g : [−3, 1000] → R, f (x) =
|x|27 exp(sin2 (2x+3))
.
log(x+4)+(x+4)2
Die Funktion g ist
stetig als Komposition, Summe, Quotient und Produkt stetiger Funktionen. Außerdem ist
g auf dem beschränkten Intervall [−3, 1000] definiert, so dass wir mit dem Satz folgern,
dass g beschränkt ist. Insbesondere ist die Menge f ([−3, 1000]) beschränkt. Wir mussten
also keine aufwendige Extremwertberechnung mit Hilfe der Ableitungen oder Monotoniebetrachtungen durchführen, um zu zeigen, dass die Funktion Minimum und Maximum
annimmt.
Satz 2.38 (Zwischenwertsatz).
Es seien a, b ∈ R mit a < b. Weiter sei die Funktion f : [a, b] → R stetig. Dann existiert
für jedes c ∈ f ([a, b]) ein ξ ∈ [a, b], so dass f (ξ) = c gilt.
Der Zwischenwertsatz verdeutlicht gemäß seiner Namensgebung die geometrische Veranschaulichung von Stetigkeit von Funktionen mit (beschränkten) Intervallen als Definitionsbereich: Nimmt eine stetige Funktion beispielsweise die Werte 0 und 1000 auf dem
Definitionsbereich [a, b] an, so findet man im Intervall [a, b] für jeden Wert zwischen 0
und 1000 ein Urbild. Der Zwischenwertsatz ermöglicht es beispielsweise die Existenz von
Nullstellen einer Funktion oder Lösungen von Gleichungen in bestimmen Intervallen nachzuweisen. Auch lässt sich Surjektivität sehr leicht mittels des Zwischenwertsatzes zeigen.
Beispiel 2.39 (Anwendung des Zwischenwertsatzes: Surjektivität).
√
Betrachte die Funktion f : [−1, ∞) → [1, ∞), f (x) := x2 + 1. Es gilt f (0) = 1 und
f (x) → ∞ für x → ∞. Da f als Komposition stetiger Funktionen stetig ist, nimmt f also
alle Werte zwischen 0 und ∞ an, d.h. f ([−1, ∞)) = f ([1, ∞]). Per Definition ist somit f
surjektiv.
Es sind auch weitere Anwendungen denkbar, wo der Bildbereich beschränkt ist. In dem
Fall sucht man Urbilder der Grenzen des Bildbereichs und folgert daraus die Existenz
aller “Zwischenstellen“ mit dem Zwischenwertsatz.
Beispiel 2.40 (Anwendung des Zwischenwertsatzes: Existenz von Nullstellen).
√
Betrachte die Funktion f : [−1, ∞) → [0, ∞), f (x) := x2 + 1 − 2. Dann ist f stetig und
19
es gilt f (0) = −1 < 0 und f (2) =
√
5 − 2 > 0 nach Monotonie der Wurzelfunktion. Wir
folgern mit dem Zwischenwertsatz die Existenz einer Nullstelle von f im Intervall [0, 2].
√
√
In der Tat deckt sich dies mit dem Ergebnis f ( 3) = 0 und 3 ∈ [0, 2].
Beispiel 2.41 (Anwendung des Zwischenwertsatzes: Existenz von Lösungen von
Gleichungen).
Wir betrachten die Gleichung
x exp(2x) = 3.
(2.6)
Diese Gleichung können wir nicht durch geeignete Umformungen explizit lösen, wir können
jedoch ein Intervall angeben, in dem man eine Lösung finden kann. Hierzu definiere die
Funktion f : R → R, f (x) = x exp(2x) − 3. Zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes,
dass f eine Nullstelle besitzt. Dann gilt für ein ξ ∈ [a, b], dass f (ξ) = 0. Nach Wahl der
Funktion ist ξ auch die Lösung der Gleichung (2.6). Wende also den Zwischenwertsatz
an: Es ist f stetig als Produkt, Komposition und Differenz stetiger Funktionen. Weiter
gilt f (0) = −3 < 0 und f (1) = e2 − 3 ≥ 22 − 3 = 1 > 0. Hierbei haben wir sehr grob
abgeschätzt, dass e > 2 gilt. Wir folgern, dass für ein ξ ∈ [0, 1] gilt, dass f (ξ) = 0. Die
Existenz der Lösung von Gleichung (2.6) ist im Intervall [0, 1] somit gesichert.
20
2.8
Differenzierbarkeit
Thema wird ausführlich im Zusatztutorium durchgesprochen.
Wichtig: Notwendige Bedingung für Differenzierbarkeit ist Stetigkeit. Wir müssen diese
notwendige Bedingung aber nicht immer zeigen.
Satz 2.42 (Mittelwertsatz).
Siehe Vorlesung! Der Mittelwertsatz bedeutet geometrisch veranschaulicht, dass im Punkt
ξ die Tangentensteigung einer Funktion mit der Sekantensteigung über das Intervall (a,b)
übereinstimmt. Tangente und Sekante sind hier also parallel.
Beispiel 2.43 (1. Anwendung des Mittelwertsatzes: Abschätzungen).
Wir wollen zeigen, dass es eine positive Konstante L gibt, so dass | sin(x) − sin(y)| ≤
L|x − y| für alle x, y ∈ R gilt. Hierzu stellen wir fest, dass sin differenzierbar auf R ist
mit Ableitung sin0 (x) = cos(x). Es existiert also eine ξ ∈ (x, y) ⊂ R, so dass
sin(x)−sin(y)
x−y
=
cos(ξ) gilt. Umstellen dieser Gleichung liefert betragsweise
| sin(x) − sin(y)| = | cos(ξ)| · |x − y| ≤ |x − y|.
(2.7)
Im letzten Schritt ging ein, dass | cos(x)| ≤ 1 für alle reellen Zahlen gilt. Insbesondere
erhalten wir dann als Konstante L = 1 > 0.
Wir haben mit dieser Abschätzung die so genannte Lipschitz-Stetigkeit von sin gezeigt,
woraus insbesondere die Stetigkeit von sin folgen würde. Dies ist jedoch klar, weil wir
sogar verwendet haben, dass sin differenzierbar ist.
Beispiel 2.44 (2. Anwendung des Mittelwertsatzes: Sekanten- und Tangentensteigung).
Gegeben sei die Funktion f : [0, 1] → R, f (x) = x2 + 1. Finde eine Stelle im Intervall
(0, 1), wo die Tangentensteigung der Funktion f und die Sekantensteigung der Funktion
f über das Intervall [0, 1] übereinstimmen. Die Funktion f ist differenzierbar und es gilt
f 0 (x) = 2x. Mit Hilfe des Mittelwertsatzes erhalten wir also
f (1) − f (0)
12 − 02
1
=
= 2ξ ⇔ ξ = .
1−0
1
2
Die Stelle ξ = 1/2 erfüllt also die gewünschte Bedingung der Steigungsgleichheit.
21
(2.8)
2.9
Lokale Extrema
Thema wird im Zusatztutorium durchgesprochen.
2.10
Integrale
Thema wird im Zusatztutorium durchgesprochen. Treppenfunktion, Hauptsatz, partielle
Integration und Integration durch Substitution sind hier die Schwerpunkte.
2.11
Taylorformel und Restgliedabschätzungen
Thema wird im Zusatztutorium durchgesprochen.
22
Kapitel 3
Spezielle Funktionstypen
Im Folgenden stellen wir eine Liste einiger wichtiger Funktionstypen mit einigen wichtigen
Eigenschaften von diesen dar. Die folgenden Funktionen sind Standardbeispiele stetiger
und differenzierbarer Funktionen aus der Vorlesung.
3.1
Affin-Lineare Abbildungen
Als affin-lineare Abbildung beschreiben wir Polynome der Form f (x) = ax + b. Ist a = 0,
so haben wir als Funktion die konstante Funktion f (x) = b. a ist die Steigung der Gerade
(Graph der Funktion) und b der y-Achsenabschnitt. Ist also a < 0, so ist f streng monoton
fallend, und für a > 0 streng monoton wachsend. Für a = 0 ist die Funktion monoton,
aber nicht streng monoton.
Die Nullstellen einer affin-linearen Abbildung sind immer 0 = f (x) = ax + b ⇔ x = −b/a.
Beachte hierbei, dass für a = 0 und b = 0 die Funktion konstant 0 ist (also jede Stelle
Nullstelle ist) und für a = 0 und b 6= 0 die Funktion keine Nullstelle besitzt.
Affin-Lineare Abbildungen sind auf ganz R bijektiv, sofern als Wertevorrat auch R festgelegt ist. Die Umkehrfunktion lautet dann f −1 (x) =
x−b
,
a
insbesondere ist die Funktion
für a = 0 also nicht invertierbar (da f dann auch nicht injektiv ist).
Affin-lineare Funktionen haben keine Extremstellen auf R.
3.2
Quadratische Funktionen
Die allgemeine Normalform für quadratische Funktionen lautet f (x) = ax2 + bx + c, wobei
a 6= 0 gelte und b, c ∈ R. Wir können aus der Normalform sofort den y-Achsenabschnitt
ablesen, dieser ist c.
Quadratische Funktionen sind auf ganz R definiert und haben immer ein Extremum,
nämlich den Scheitelpunkt. Ist a > 0, so ist die Parabel (Graph der quadratischen Funktion) nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt folglich ein lokales Minimum. Ist a < 0, so
ist die Parabel nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ist folglich ein lokales Maximum.
23
Im Allgemeinen ist die quadratische Funktion nicht bijektiv. Durch Einschränkt des Definitionsbereichs auf eine Parabelhälfte, sowie durch eine entsprechende Einschränkung des
Bildbereichs können wir jedoch Bijektivität erhalten. In dem Fall ist die Wurzelfunktion
die Umkehrfunktion (bis auf Transformation) der quadratischen Funktion.
Wir können Nullstellen von quadratischen Funktionen mittels p/q-Formel bestimmen.
Weiter können wir quadratische Funktionen mit Hilfe der Nullstellen in Linearfaktoren
zerlegen. Seien also x1 , x2 die Nullstellen der quadratischen Funktion, dann schreibe auch
f (x) = a(x−x1 )(x−x2 ). Ist eine quadratische Funktion in dieser Form gegeben, so können
wir direkt die Nullstellen ablesen.
Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung können wir f auch in die Scheitelpunktform bringen. Diese lautet f (x) = a(x − d)2 + e, wobei S(d/e) dann der Scheitelpunkt der Parabel
darstellt. Beachte hierbei das Vorzeichen von d! Mittels Scheitelpunktform und Betrachtung des Vorzeichens von dem Funktionsparameter a können wir Minima und Maxima
einer quadratischen Funktion bestimmen, ohne diese Funktion abzuleiten.
Quadratische Funktionen sind im Allgemeinen nicht monoton, vergleiche hierzu die Parabelhälften links und rechts von Scheitelpunkt.
3.3
Exponentialfunktion
Hier ist die Vorlesung sehr gut zusammengefasst worden. Merkt euch umbedingt, dass
exp(x) > 0 für alle x ∈ R gilt. Außerdem ist exp die einzige Funktion (bis auf Transformation), so dass die Funktionalgleichung exp(a + b) = exp(a) · exp(b) erfüllt ist.
Wir definieren die allgemeine Exponentialfunktion ax := exp(log(a) · x) für jede reelle Zahl. Als bijektive Funktion ist exp injektiv und surjektiv mit dem Logarithmus als
Umkehrfunktion. Insbesondere ist exp streng monoton wachsend, weil exp injektiv ist.
Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, für die Ausgangs- und Ableitungsfunktion bzw. Stammfunktion übereinstimmen.
3.4
Logarithmusfunktion
Der Logarithmus ist als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion definiert. Es gilt log(1) =
0, da exp(0) = 1 gilt. Folglich ist die einzige Nullstelle des Logarithmus bei 1 zu finden.
24
Der Logarithmus ist natürlich bijektiv und hat als Umkehrfunktion die Exponentialfunktion. Außerdem ist der Logarithmus streng monoton wachsend.
Es gilt für die Ableitung log0 (x) = 1/x. Da die Ableitung offenbar keine Nullstelle besitzt,
verfügt der Logarithmus über keine lokalen Extrema.
3.5
Sinus und Kosinus
Der Sinus und Kosinus bilden einen Teil der Klasse der so genannten trigonometrischen
Funktionen. Es sind sin : R → R und cos : R → R Funktionen, welche 2π-peridoisch sind.
Das bedeutet, dass sin(x + 2π) = sin(x) und cos(x + 2π) = cos(x) für alle x ∈ R gelten.
Die Standard-Sinusfunktion und die Kosinusfunktion sind beide nicht monoton, allerdings
lassen sich abschnittsweise monotone Definitionsbereiche wählen, in denen diese Funktionen sogar bijektiv sein können
Schränkt man den Definitionsbereich der Funktionen geeignet ein, so existieren also Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus, die so genannten Arcusfunktionen.
Die Standard-Sinusfunktion sin hat als Nullstellen sämtliche ganzzahlige Vielfache von π
(also sin(kπ) = 0 für alle k ∈ Z), der Kosinus hingegen hat Nullstellen der Form π/2 + kπ,
wobei auch hier k eine ganze Zahl sei.
3.5.1
Graphentransformation des Sinus
Betrachte nun die Funktion f (x) = A sin(ωx+φ)+e. Diese Funktion ist eine transformierte Standardsinusfunktion. Es bezeichnet A die Amplitude, also den Streckfaktor, welcher
die Höhe des Ausschlags der Wellenfunktion bestimmt. Da für den Standardsinus A = 1
ist, liegen die Extrema der Welle auf Höhe von +1 und -1.
Insbesondere oszilliert der Standardsinus um die x-Achse, da dort e = 0. Der Parameter
e gibt also die Verschiebung entlag der y-Achse an.
ω bezeichnet die so genannte Kreisfrequenz. Sie gibt an, was die Periode der transformierten Funktion ist. Für ω = 1 erhalten wir eine Periode von 2π, für ω = 2 ist die Periode π.
Allgemein gibt ω also an, wie viele Perioden der transformierten Welle in einen Bereich
von 2π hereinpassen.
Der Parameter φ gibt die Phase der Welle an. Es handelt sich hierbei um einen Parameter,
der es ermöglicht, die Funktion auf der x-Achse zu verschieben.
25
Es folgt eine Grafik von einer verschobenen Sinusfunktion:
Abb. 3.1: Graph der Funktion f (x) = 5 sin(3x + 3) − 2.
Eine Transformation des Kosinus funktioniert analog.
3.5.2
Additionstheoreme und trigonometrischer Pythagoras
Der trigonometrische Pythagoras ist ein Zusammenhang der Quadrate von Sinus und
Kosinus, denn es gilt:
sin2 (x) + cos2 (x) = 1 ∀ x ∈ R.
(3.1)
Darüber hinaus ist es sinnvoll, die Additionstheoreme des Sinus und Kosinus verwenden
zu können. Diese wurden hinreichend in den Übungen besprochen.
3.5.3
Ableitungen und Integrale
Es gilt sin0 (x) = cos(x) und cos0 (x) = − sin(x). Wir können also durch sukzessives Ableiten folgende Reihenfolge der Ableitungen finden:
sin(x) |{z}
7
→
cos(x) |{z}
7→ − sin(x) |{z}
7→ − cos(x) |{z}
7→ sin(x)
Ableiten
Ableiten
Ableiten
(3.2)
Ableiten
Lesen wir diese Reihenfolge rückwärts, so finden wir die Integrale bzw. Stammfunktionen
von Sinus und Kosinus.
26