Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2014 der
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Fachbereich Mathematik und Informatik der Philipps-Universität Marburg Prof. Dr. H. Upmeier M.Sc. Philipp Naumann Sommersemester 2014 Übungen zur Algebra II – Blatt 5 – Abgabe: Dienstag, den 20.05.2014, 12:00 - 12:15 Uhr, Lahnberge SR X Aufgabe 1 (4 Punkte) Sei K ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass K unendlich viele Elemente besitzt. Hinweis: Falls K nur endlich viele Elemente hat, kann man wie im Beweis von Euklid zur Unendlichkeit der Anzahl der Primzahlen ein Polynom f ∈ K[X] konstruieren, welches keine Nullstelle in K besitzt. Aufgabe 2 (4 Punkte) Sei K ⊂ E eine Körpererweiterung und K sei abzählbar. Beweise ausführlich, dass auch die algebraische Hülle K bzgl. E abzählbar ist. Wende dieses Argument auf die algebraischen Zahlen Q an. Aufgabe 3 (4 Punkte) Sei Z/n der Restklassenring mod n. Seine Einheitengruppe (Z/n)∗ besteht aus den Restklassen m + Z · n wobei 1 6 m < n teilerfremd zu n ist. Die Euler’sche Funktion ϕ(n) ist die Anzahl dieser Restklassen. a) Zeige, dass für eine Primzahl p und r > 1 gilt: ϕ(pr ) = pr − pr−1 . mk 1 b) Sei n = pm 1 · · · pk die Primfaktorzerlegung von n. Definiere einen Ring-Isomorphismus mk 1 Z/n → Z/(pm 1 ) × . . . × Z/(pk ) i auf das direkte Produkt der Ringe Z/(pm i ). Nachzuweisen ist die Wohldefiniertheit, die Injektivität sowie die Surjektivität. c) Welche Folgerung ergibt sich daraus für die Einheitengruppe (Z/n)∗ ? d) Gebe eine explizite Formel für ϕ(n) an. Aufgabe 4 (4 Punkte) Die Möbius-Inversionsformel für die Kreisteilungspolynome lautet Φn (X) = Y d|n µ(n/d) (X d − 1) . Dabei ist die Möbius-Funktion µ erklärt durch falls n = 1 1, (−1)r , falls n = p1 · · · pr µ(n) = 0 sonst Danach ist Φn (X) also als Quotient zweier ganzzahliger Polynome, nämlich Produkte der mk 1 Form X m −1, darstellbar. Wir schreiben die Primfaktorzerlegung von n als n = pm 1 · · · pk . a) Verifiziere die Möbius-Umkehrformel direkt für den Fall k = 2. b) Beweise die Möbius-Umkehrformel durch Induktion nach k. Verwende dabei die Tatsache, dass Φm (X p ) falls p - n Φm (X) Φpm (X) = Φm (X p ) falls p | n. Φpm (X) = (1) (2)
