Die ¨Aquivalenzrelation von {1,2,3} ist die Zahl 3. Wann ist eine

Beispiel:
{a, b, c} ∼ {1, 2, 3} ∼ {3, 7, 9}
Die Äquivalenzrelation von {1, 2, 3} ist die Zahl 3.
Wann ist eine Menge unendlich? Eine Menge ist unendlich, wenn sie in 1zu 1-Korrespondenz mit einer strikten Untermenge (Untermenge mind. eine
Element weniger) gebracht werden kann.
N ist eine unendliche Menge
N : {1
2
A
A
gerade
{ 2
Zahlen
3
4
5
6
7
8
9
10. . .
X
PP X
@ H
PPXXXX
@ HH
XXX
PP
HH
@
P
X
4
6
8
k
j
}
10
2k
}
”
2f
⇒k=j
Diese Korrespondenz ist 1 zu 1. Die Korrespondenz ist unendlich.
⇒ N ist eine unendliche Menge.
Abzählbarkeit
Eine Menge m heißt abzählbar, wenn sie die gleiche Kardinalität wie N hat
(es gibt eine bijektive Korrespondenz zwischen M und N ).
Beweis:
Wir lassen keine Zahlen in Z aus.
Z ist abzählbar.
?
-5
-4
-3
-2
?
-1
0
?
?
?
1
2
3
4
Jede Zahl aus Z
kann man auf eine Zahl aus N
zurückführen und umgekehrt.
?
1
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
Es liegt eine 1 zu 1 Korrespondenz zwischen Z und N vor.
⇒ Regel: f (0)
f (k)
f (k)
−→ f
=
=
=
ist
1
2k
für k > 0
2(−k) + 1 für k < 0
bijektiv.
Beispiel: Hilberts Hotel
1
2
3
4
5
6
7
8. . . . . .
x
x
x
x
x
x
x
x
. .6
.......
x
6
6
6
6
6
6
x
x
x
x
x
x
Q ist abzählbar.
Zeichnung siehe handgeschriebene Fassung.
5
Q+ ist abzählbar.
p/q ∈ Q+ , p ∈ N
p∈N
Es fehlt keine Zahl von Q+
⇒ Hier liegt eine 1 zu 1 Korrespondenz vor.
Hausaufgabe: Finde die Funktion f ! f (p/q) → h
Q ist abzählbar.
Zeichnung siehe handgeschriebene Fassung.
Wir fangen an, mit der Null zu zählen, nehmen sie aber nicht in die Tabelle,
da man nicht durch 0 teilen darf.
⇒ Hier liegt eine 1 zu 1 Korrespondenz vor, d.h. f : Q → N
⇒ f bijektiv
Zweite Möglichkeit:
abzählbar M
abzählbar N
1
2
3
4
5
6 ......
?
?
?
?
?
?
m1
m2
m3
m4
m5
m6
n1
n2
n3
n4
n5
n6
M ∪ N = {m1 , n1 , m2 , n2 , m3 , n3 . . .}
1 2 3 4 5 6
Zwei abzählbare Mengen, die vereinigt werden, ergeben eine abzählbare Menge.
Eine endliche Vereinigung von abzählbaren Mengen ist abzählbar.
A = {a1 , a2 , a3 A ∪ B ∪ ∪Z
B = {b1 , b2 . . . = {a1 , b1 , c1 . . . z1 , a2 , b2 . . . z2 , a3 . . .
C = {c1
D = {d1 . . .
..
.
Z = {z1 . . .
|{z}
Liste von Mengen, die man vereinigen will.
Reelle Zahlen R
- die reellen Zahlen sind nicht abzählbar.
Dezimaldarstellung
1/2 0, 50000000000 . . .
1/3 0, 3333 . . .
π 3, 14159 . . .
6
Q
π
?
Q ist nicht abzählbar
Beweis durch Widerspruch:
Wenn R abzählbar wäre, gäbe es eine Abfolge der Zahlen in R.
Wir schreiben sie alle in einer Tabelle auf (wir betrachten nur
Zahlen z, 0 ≤ z < 1).
r1
r2
r3
r4
r5
r
0,
0,
0,








r11 , r12 r13 r14 . . .
r21 , r22 r23 r24 r25 . . .
r31 , r32 r33 r34 . . .
... ...
... ...
...
...
rpq
in unserer Darstellung fehlt keine
 Zahl 0 ≤ z < 1






Wir suchen eine reelle Zahl Z, die nicht in unserer Tabelle ist.