¨Ubungen zur Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik

Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Martin Monath
02. Mai 2017
Übungen zur Vorlesung
Einführung in die Theoretische Informatik
Blatt 1
Aufgabe 1 (2+2=4 Punkte)
(a) Begründen Sie, dass für jede Menge A ⊂ N genau einer der folgenden vier Fälle auftritt:
(i) A und Ā sind beide entscheidbar.
(ii) A ist aufzählbar, aber nicht entscheidbar und Ā ist nicht aufzählbar.
(iii) A ist nicht aufzählbar und Ā ist aufzählbar, aber nicht entscheidbar.
(iv) A und Ā sind beide nicht aufzählbar.
(b) Begründen Sie, dass für jede berechenbare bijektive Funktion f : N → N auch die
Umkehrfunktion f −1 von f berechenbar ist.
Hinweis: Geben Sie ein Berechnungsvefahren für f −1 an, das das Berechungsverfahren für
f nutzt.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort, d.h. geben Sie eine Beweisskizze bzw. ein
Gegenbeispiel an.
• Die Konkatenation ist assoziativ, d.h. es gilt stets (xy)z = x(yz).
• Die Konkatenation ist kommutativ, d.h. es gilt stets xy = yx.
• Die Konkatenation ist mit der längen-lexikographischen Ordnung < verträglich, d.h.
es gilt stets:
x1 ≤ x2 & y1 ≤ y2 ⇒ x1 y1 ≤ x2 y2 .
• Es gilt:
(02 100 12 (00)3 )R < 02 (001)3 < 0010 0
bzgl. der längenlexikographischen Ordnung <. Hierbei bezeichne wR das Spiegelwort
von w.
1
Bitte wenden.
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Ein Paar (n, n+2) von natürlichen Zahlen heißt Primzahlzwilling, falls sowohl n als auch n+2
Primzahlen sind (zum Beispiel ist (3, 5) ein Primzahlzwilling). Die Frage, ob es unendlich
viele Primzahlzwillinge gibt, ist ein bislang ungelöstes mathematisches Problem.
Sei f : N → N die Funktion, die definiert ist durch
(
1, falls es mindestens n Primzahlzwillinge gibt
f (n) =
0, sonst.
Ist f berechenbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Sei A ⊆ N, wobei wir eine natürlich Zahl n mit ihrer unären Darstellung 0n+1 gleichsetzen.
Zeigen Sie, dass folgende Aussagen über A äquivalent sind:
(i) A ist aufzählbar.
(ii) A ist der Wertebereich einer partiell berechenbaren Funktion ϕ : N → N.
(iii) A ist endlich oder der Wertebereich einer total berechenbaren, injektiven Funktion
f : N → N.
Abgabe: Bis Dienstag, den 09. Mai 2017, 14 Uhr in den Briefkästen im 1. Obergeschoss
des Mathematikon (INF 205) auf der Seite des Haupteingangs. Homepage der Vorlesung:
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ss17/theoinf_ss17.html
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