,,Analysis 1” 3.¨Ubungsblatt Hausaufgaben

Institut für Angewandte Mathematik
WS 2013/14
Prof. Karl-Theodor Sturm, Dr. Sebastian Andres
,,Analysis 1”
3. Übungsblatt
Abgabe bis Dienstag 5.11.2013 in der Vorlesungspause
Wichtige Informationen zur Lehrveranstaltung und die Übungsblätter finden Sie unter
http://wt.iam.uni-bonn.de/andres/teaching/analysis-1/general-information/
Hausaufgaben
Aufgabe 1
[5 Pkt ]
Für je zwei Elemente x und y eines angeordneten Körpers K erklären wir
(
(
x, falls x ≤ y,
x, falls x ≥ y,
und
min(x, y) :=
max(x, y) :=
y, falls x > y.
y, falls x < y;
Beweisen Sie die folgenden Darstellungen, wobei x, y ∈ K beliebig sind:
ii) max(x, y) = − min(−x, −y),
iv) min(x, y) = 21 (x + y − |x − y|).
i) max(x, y) + min(x, y) = x + y,
iii) max(x, y) = 21 (x + y + |x − y|),
Aufgabe 2
[5 Pkt ]
i) Zeigen Sie, dass es keine endlichen angeordneten Körper geben kann. Einen Körper
nennen wir dabei endlich, wenn er endlich viele Elemente besitzt.
ii) Es seien K ein beliebiger Körper und X := {m ∈ N \ {0} | 1| + ·{z
· · + 1} = 0}. Dabei
m−mal
bezeichne 0 bzw. 1 das neutrale Element der Addition bzw. Multiplikation in K. Sei
(
das kleinste m aus X, falls X 6= ∅,
κ :=
0,
falls X = ∅.
Beweisen Sie: Ist κ 6= 0, so ist dies eine Primzahl.
1
Aufgabe 3
[5 Pkt ]
i) Sei K ein angeordneter Körper und für n ∈ N, n ≥ 1, seien x1 , . . . , xn ∈ K mit
x1 , . . . , xn ≥ 0. Beweisen Sie die folgende Ungleichung zwischen dem geometrischen
und dem arithmetischen Mittel:
n
x1 + . . . + xn
.
x1 · x2 · · · xn ≤
n
Hinweis: Benutzen Sie vollständige Induktion und im Induktionsschritt nummerieren
Sie die x1 , . . . , xn+1 so, dass xn+1 das Maximum dieser Körperelemente ist. Verwenn+1 −a
n
, wobei a := x1 +···+x
.
den Sie dann die Bernoulli-Ungleichung mit x = x(n+1)a
n
ii) Für beliebige x1 , x2 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ K beweisen Sie die folgende Cauchy-SchwarzUngleichung:
!2
!
!
n
n
n
X
X
X
xj yj
≤
x2j ·
yj2 .
j=1
j=1
j=1
Hinweis: Eine Variante, dies zu beweisen, basiert auf einer Anwendung von i). Die
Existenz der Quadratwurzel dürfen Sie hier voraussetzen.
Aufgabe 4
n P
Zeigen Sie: Für jedes n ∈ N mit n ≥ 1 gilt 2 ≤ 1 + n1 ≤ nk=0
Hinweis: Satz über die geometrische Reihe.
[5 Pkt ]
1
k!
< 3.
Präsenzaufgaben
Aufgabe 5
Verifizieren Sie folgende Ungleichungen in einem angeordneten Körper K.
ii) |a + b| + |a − b| ≥ |a| + |b|.
i) ab + ab ≥ 2, (a, b 6= 0),
[0 Pkt ]
Aufgabe 6
Beweisen Sie den Multinomialsatz: Seien x1 , . . . , xn ∈ R und k ∈ N. Dann gilt
X
k!
xk11 · · · xknn .
(x1 + · · · xn )k =
k1 ! · · · kn !
k +···+k =k
[0 Pkt ]
1
n
Die Summe wird hierbei gebildet über alle n-Tupel (k1 , . . . kn ) natürlicher Zahlen mit k1 +
· · · + kn = k. Der Ausdruck
k
k!
:=
k1 , . . . , kn
k1 ! · · · kn !
heisst auch Multinomialkoeffizient (Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten).
2