Test 2, Gruppe A Beispiel 1 (12 Punkte).

Vorname
Nachname
Test 2, Gruppe A
Matrikelnummer
Bsp. 1
Bsp. 2
Summe
UE Einführung in die Lineare Algebra SS 2011
LV-Nr.: 250039, B. Krön, Dienstag 17. Mai 2011
Hilfsmittel (Unterlagen, Taschenrechner etc.) dürfen nicht verwendet werden.
Beispiel 1 (12 Punkte).
Finden Sie in Beispiel 1a, 1b und 1c jeweils die zwei richtigen Aussagen. Zwei richtige
Antworten = 4 Punkte. Eine richtige und keine weitere Antwort = 2 Punkte. Bei einer
falschen Antwort 0 Punkte. Gewertet werden die Antworten in der Lösungstabelle.
Lösungstabelle
die richtigen Aussagen:
Beispiel 1a
Beispiel 1b
Beispiel 1c
Beispiel 1a (4 Punkte).
(1) Die reellen Zahlen bilden eine Gruppe mit der Multiplikation als Verknüpfung.
(2) Die ganzen Zahlen bilden ein Gruppe mit der Addition als Verknüpfung.
(3) Die natürlichen Zahlen bilden eine Gruppe mit der Addition als Verknüpfung.
(4) Die Menge der Polynome mit rationalen Koeeffizienten ist eine Gruppe mit der
Addition als Verknüpfung.
Beispiel 1b (4 Punkte).
(1) In einem Körper ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation gleich dem
neutralen Element bezüglich der Addition.
(2) Ein Körper ist ein Vektorraum über sich selbst.
(3) Ein Vektorraum (Menge der Vektoren) ist immer auch ein Gruppe.
(4) Wenn V ein Vektorraum über einem Körper K ist, dann ist jeder Vektor aus V
immer auch ein Element des Körpers K.
Beispiel 1c (4 Punkte). Im Folgenden betrachten wir ein lineares Gleichungssystem mit
reellen Koeffizienten und endlich vielen Variablen. Anm.: Die Koeffizienten können auch
alle gleich Null sein.
(1) Wenn das System drei Variablen hat, dann ist die Lösungsmenge der ganze R3 oder
eine Schnittmenge von (affinen) Ebenen.
(2) Wenn die Lösungsmenge des Gleichungssystems zwei verschieden Elemente hat, dann
muss sie unendlich sein.
(3) Wenn das System zwei Variablen hat, dann ist die Lösungsmenge entweder leer oder
einelementig oder sie entspricht einer Geraden im R2 .
(4) Die Lösungsmenge des Systems ist immer ein Vektorraum über dem Körper der
reellen Zahlen mit der koordinatenweisen Addition als Addition von Vektoren.
Beispiel 2 (12 Punkte).
(a) Stelle Sie die Lösungsmenge des folgenden reellen Gleichungssystems dar, falls sie
unendlich ist, dann in parametrisierter Form (8 Punkte).
x+z = 0
−y + 2z = 1
2x + y = −1
(b) Ist die Lösungsmenge leer, einelementig, eine Gerade, eine Ebene oder der ganze R3
(2 Punkte)?
(c) Haben Gleichungssysteme mit reellen Koeffizienten und drei reellen Variablen immer
einen der 5 Typen von Lösungsmengen aus Punkt (b) (2 Punkte)?
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