Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
Ein Student
1. März 2013
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Körper
Körper, hää? Der Körper ist nur ein Begriff der Analysis. Wir wollen und gleich mit dem Körper der
komplexen Zahlen beschäftigen. Deswegen gucken wir erstmal, was das heißt:
Ein Körper beinhaltet die Zahlen 0 und 1, ”besitzt”die ”Verknüpfungen, Addition und Multiplikation, diese sind assoziativ und kommutativ, und es gilt ein Distributivgesetz. Es gibt neutrale Elemente
bezüglich Addition und Multiplikation, und genau so auch die jeweiligen Inversen.
Das ist alles gar nicht so kompliziert. Wir können eine Menge von Zahlen betrachten, und herausfinden,
ob sie ein Körper sind. Wichtig ist es, dass der Körper abgeschlossen ist. Das heißt, dass das Ergebnis
einer Verknüpfung zweier Elemente auch Element des Körpers sein muss. Zum Beispiel kann die Menge
{0,1} einen Körper darstellen! Bevor wir das testen, gucken wir mal, was unter dem neutralen Element
und den Inversen zu verstehen ist:
Ein neutrales Element bezieht sich auf eine Verknüpfung. Bei der Addition ist es die 0, bei der Multiplikation die 1. Wird ein beliebiges Körperelement mit dem neutralen Element verknüpft, ist das Ergebnis
das Element selber. Eine beliebige Zahl +0 ist die Zahl selbst. Und eine beliebige Zahl, multipliziert
mit 1? EBBE! :D
Auch der Begriff des Inversen ist relativ einfach: Das Inverse eines Elementes bezüglich einer Verknüpfung ist das Element, das dafür sorgt, dass das Ergebnis der Verknüpfung das neutrale Element
der Verknüpfung ist. Das additive Inverse (im Fall der ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen) zu 2? Ist also −2. Weil: 2 + (−2) = 0! Das multiplikative Inverse (im Fall der rationalen, reellen
und komplexen Zahlen) zu 3? 31 . Weil 3 · 31 = 1.
In den Klammern seht ihr schon; additive Inverse bei natürlichen Zahlen? Fehlanzeige. Es gibt ja keine
−2 in den natürlichen Zahlen. Ob sie jetzt bei 0 oder 1 anfangen (ist auch an der Uni unterschiedlich),
ist egal. Die −2 kommt in dern natürlichen Zahlen nicht vor. Und beim multiplikativen Inversen? Gibt
es die Zahl 31 in den natürlichen oder ganzen Zahlen? Natürlich nicht. Die natürlichen und die ganzen
Zahlen sind also schon mal keine Körper!
Wie kommt es dann, dass man auf der Menge {0,1} einen Körper definieren kann? Genau; man muss
richtig definieren:
Neutrale Elemente: Addition: 0, Multiplikation: 1. check!
0 + 0, 0 + 1, 1 + 0 sind ja noch klar, aber 1 + 1? Das wäre doch 2, oder nicht? Haben wir nicht, geht
nicht! . . . Aber was wäre, wenn wir 1 + 1 = 0 definieren würden? Das löst auch gleich das Problem
des additiven Inversen zu 1! −1 konnte es ja nicht sein. Jetzt ist 1 einfach zu sich selbst additiv invers!
1 + 1 ergibt das neutrale Element der Addition. Und 0 + 0 ebenfalls. Die Addition hat also ihr neutrales
Element, ist abgeschlossen, und alle Elemente besitzen Inverse. Kommutativ ist es auch. 0 + 1 und 1 + 0
ergeben das gleiche! Assoziativ? Was heißt das überhaupt?
Assoziativ heißt: ∀x, y, z ∈ K : (x + y) + z = x + (y + z)
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Im schlimmsten Fall, können wir das ausprobieren. Es gibt ja nur“8 Möglichkeiten:
”
(0 + 0) + 0 = 0 + (0 + 0), (0 + 0) + 1 = 0 + (0 + 1), (0 + 1) + 0 = 0 + (1 + 0), (1 + 0) + 0 = 1 + (0 + 0)
sind noch einfach. Die anderen untersuchen wir genauer:
?
(0 + 1) + 1 = 0 + (1 + 1) → (0 + 1) + 1 = 1 + 1 = 0, 0 + (1 + 1) = 0 + 0 = 0 passt.
(1 + 0) + 1 = 1 + (0 + 1) ist einfach.
(1 + 1) + 0 = 1 + (1 + 0) ist fast das gleiche wie oben.
?
(1 + 1) + 1 = 1 + (1 + 1) → (1 + 1) + 1 = 0 + 1 = 1, 1 + (1 + 1) = 1 + 0 = 1 passt.
Die Addition ist also assoziativ. Als Übung könnt ihr ja prüfen, ob die Multiplikation auch assoziativ
ist.
Bei der Multiplikation ist alles wie gewohnt. Mit 0 mal nehmen, kommt auch 0 raus, und 1 · 1 = 1. Nun
gibt es noch das Distributivgesetz. Dabei kommen beide Verknüpfungen vor:
!
x · (y + z) = x · y + x · z.
Auch das kann man leicht testen. Auf der Menge {0,1} kann man also einen Körper definieren! Und
nicht nur darauf. Das lustige ist: Auf den Mengen bis 2,3,5,7,11,13,17,19,usw. (Primzahlen), also {0,1,2,},
{0,1,2,3}, usw. kann man ebenfalls Körper definieren. Ihr könnt das selbst ausprobieren, indem ihr eine
Multiplikations- und Additionstabelle aufstellt. Dabei darf in jeder Spalte und Zeile jede Zahl nur einmal vorkommen, wie bei Sudoku. Sudoku“hat auch der Professor gesagt ;)
”
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Zahlenmengen
Welche bekannten Zahlenmengen sind jetzt Körper? Oben haben wir schon die natürlichen Zahlen ausgeschlossen (weder additives noch multiplikatives Inverses). Und die ganzen Zahlen (kein multiplikatives
Inverses). Die rationalen Zahlen haben aber beides. Es handelt sich bei den rationalen Zahlen wirklich
um einen Körper! Im Gegensatz zu den reellen Zahlen fehlen aber die Wurzeln und transzendente Zahlen, wie π oder e. Auf den rationalen Zahlen kann man die Gleichung x2 = 2 nicht lösen. Setzt man als
Grundmenge die rationalen Zahlen voraus,
√ ist die Lösungsmenge leer!
In den reellen Zahlen würde einfach ± 2 raus kommen. Gibt es denn eine Gleichung, die man in den
reellen Zahlen nicht lösen kann? Ja. Vielleicht kennt ihr das schon aus der Schule: Aus negativen Zahlen
kann man keine Wurzel ziehen.
Hier wird es jetzt interessant! Und manche von euch√haben vielleicht schon eine Ahnung. Es geht
um die imaginäre Zahl i. Sie hat folgende Eigenschaft: −1 = ±i
2
2
2
2
Das ± ist wichtig: i2 = −1 ist klar. Aber (−i)
√ i = −1!
√ = (−1)
√ ·i =
Und damit können wir alle Wurzeln ziehen. −16 = −1 · 16 = ±4i.
Wenn man nun eine reelle Zahl und eine imaginäre zusammen tut, hat man eine komplexe Zahl. Diese
wird meistens mit z abgekürzt und so geschrieben: z = a+ib, wobei a der Realteil und b der Imaginärteil
der komplexen Zahl ist. a und b sind jeweils reelle Zahlen!
Reelle Zahlen sind ja ganz einfach auf einem Zahlenstrahl darstellbar. Und komplexe Zahlen? Nun,
man braucht einfach eine Dimension mehr. Auf der einen Achse trägt man den Realteil auf, auf der
anderen den Imaginärteil. Ich empfehle euch im Internet mal nach Addition und Multiplikation von
komplexen Zahlen zu recherchieren. Ich kann euch das nicht gut aufmalen. Ich kann euch aber sagen,
wie man Addition und Multiplikation geometrisch verstehen kann.
Eine komplexe Zahl kann man sich also in einem 2-dimensionalen Koordinationsystem als Pfeil“, oder
”
eher als Vektor darstellen. Bei der Addition zweier komplexer Zahlen, werden die Vektoren einfach ad2
diert. Bei der Multiplikation wird der Betrag multipliziert und der Winkel von der x-Achse aus addiert.
Ihr seht schon, ich kann euch das mit Worten sehr schlecht erklären. Deswegen solltet ihr ein bisschen
recherchieren. Falls ihr dann noch Fragen habt, werd ich sie euch beantworten :)
Ein komplexe Zahl kann man einfach als Paar darstellen: (a,b) hat jetzt die gleiche Aussage wie: a + ib.
Damit kann man die Addition und die Multiplikation so aufschreiben:
Addition: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
Einfach komponentenweise: a1 + ib1 + a2 + ib2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
Bei der Multiplikation ist das komplizierter:
(a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = a1 a2 + a1 ib2 + ib1 a2 + i2 b1 b2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a2 b1 )
Oder so: (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 )
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Eulersche Formel
Wenn man sich eine komplexe Zahl als Vektor vorstellt, hat man einen Winkel zwischen reeller Achse
und Vektor. Diesen nennt man Argument. Mit dem Betrag (r), also der Länge des Vektors, und dem
Winkel können wir mit Sinus und Cosinus den Realteil und den Imaginärteil darstellen:
sin(ϕ) = Imaginärteil
Betrag
cos(ϕ) = Realteil
Betrag
Imaginärteil = sin(ϕ) · Betrag
Realteil = cos(ϕ) · Betrag
Wollen wir also die komplexe Zahl durch Betrag und Argument darstellen, sieht das so aus:
z = a + ib = r · (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
Ihr werdet es nicht glauben, aber die folgende Formel ist richtig:
r · (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = eiϕ
Das wollen wir mit Hilfe der Taylorentwicklung überprüfen:
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4
ex = 1 + x + x2 + x3! + x4! + . . .
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4
cos(x) = 1 − x2 + x4! − . . .
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sin(x) = x − x3! + x5! − . . .
Jetzt geht es los:
2 2
3 3
4 4
5 5
eiϕ = 1 + iϕ + i 2ϕ + i 3!ϕ + i 4!ϕ + i 5!ϕ + . . .
Sortieren:
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4
3
5
= 1 + i2 ϕ2! + i4 ϕ4! + · · · + iϕ + i3 ϕ3! + i5 ϕ5! + . . .
(i2 = −1, i4 = 1, . . . , i3 = −i, i5 = i, . . . )
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4
3
5
= 1 − ϕ2 + ϕ4! − · · · + i(ϕ − ϕ3! + ϕ5! − . . .
= cos(ϕ) + i sin(ϕ)
Schön, nicht wahr? ;)
Wir werden in der Physik noch darauf zurück kommen. Wir werden nämlich Schwingungen, die ja
eigentlich mit sin oder cos dargestellt werden, mit komplexen Zahlen, und sogar mit der e-Funktion
darstellen! :)
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