Körper - Mathematics TU Graz

Körper
Die Analysis beruht in weiten Bereichen auf dem Rechnen innerhalb der
”Körper” der rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Die Rechenregeln
dafür ergeben sich aus den Körperaxiomen.
Definition. Eine Menge K (mit wenigstens 2 Elementen), auf der für je
zwei Elemente x, y ∈ K auf eindeutige Weise eine ”Summe” x + y ∈ K
und ein ”Produkt” x · y ∈ K erklärt ist, heißt ein Körper, wenn für alle
x, y, z ∈ K folgende Eigenschaften gelten:
(A1 ) x + y = y + x
(Kommutativität der Addition)
(A2 ) x + (y + z) = (x + y) + z
(Assoziativität der Addition)
(A3 ) ∃ ein Element 0 ∈ K mit x + 0 = x ∀ x ∈ K (Nullelement)
(A4 ) Zu jedem x ∈ K gibt es ein Element (−x) ∈ K mit x + (−x) = 0
(inverses Element der Addition)
(M1 ) x · y = y · x
(Kommutativität der Multiplikation)
(M2 ) x · (y · z) = (x · y) · z
(Assoziativität der Multiplikation)
(M3 ) ∃ ein Element e ∈ K mit e 6= 0 und e · x = x ∀ x ∈ K
(Einselement)
(M4 ) Zu jedem x ∈ K mit x 6= 0 gibt es ein Element x−1 ∈ K mit
x · x−1 = e (inverses Element der Multiplikation)
(D) (x + y) · z = (x · z) + (y · z)
(Distributivgesetz)
Bemerkungen.
1. Die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, ...} mit den üblichen
Definitionen für Addition und Multiplikation bildet keinen Körper.
2. Die Menge der ganzen Zahlen Z = {0, ±1, ±2, ...} bildet ebenfalls
keinen Körper.
3. Die Menge der Bruchzahlen B = {x = pq : p ∈ Z, q ∈ N} bildet
mit der Gleichsetzung pq11 = pq22 ⇔ p1 q2 = p2 q1 und den Operationen
1
p1
q1
+ pq22 =
p1 q2 +p2 q1
q1 q2
,
p1
q1
· pq22 =
p1 p2
q1 q2
den Körper Q der rationalen Zahlen.
(Präziser: Die rationalen Zahlen werden als Äquivalenzklassen von Brüchen
bzw. von Elementen von Z × N definiert.)
4. Sei K = {0, e} mit folgenden Operationen: 0 + 0 = e + e = 0 ,
e + 0 = 0 + e = e , 0 · 0 = e · 0 = 0 · e = 0 und e · e = e. Dann ist K ein
Körper.
(Ähnliche Verknüpfungstafeln können für andere Körper mit endlich vielen
Elementen betrachtet werden)
Aus den Körperaxiomen ergeben sich bereits erste Folgerungen bzw. Rechenregeln:
1. Für x, y ∈ K hat die Gleichung x + z = y eine eindeutig bestimmte
Lösung, nämlich z = y + (−x) bzw. z = y − x (Subtraktion).
2. Für x, y ∈ K mit x 6= 0 hat die Gleichung x · z = y eine eindeutig
bestimmte Lösung, nämlich z = y · x−1 bzw. z = xy (Division).
3. x · 0 = 0 , (−x) · y = −(x · y) = −x · y , (−x) · (−y) = x · y
4. x · y = 0 ⇒ x = 0 oder y = 0.
Häufig wird die Summe und das Produkt von mehr als 2 Elementen benötigt.
Dabei gelten folgende Festsetzungen und Notationen:
Für n ∈ N und x1 , x2 , ..., xn ∈ K seien
µn−1 ¶
1
n
P
P
P
1.
xi = x1 ,
xi =
xi + xn
i=1
2.
1
Q
i=1
3.
0
P
i=1
xi = x1
i=1
i=1
i=1
i=1
µn−1 ¶
n
Q
Q
,
xi =
xi · xn
xi = 0 (leere Summe) ,
0
Q
i=1
xi = e (leeres Produkt)
Man beachte, dass die Kommutativ- und Assoziativgesetze sicherstellen,
dass die obigen Festsetzungen sinnvoll sind und die Reihenfolge der Faktoren unerheblich ist.
2
Definition.
n
P
(i) Eine Summe
xi mit xi = x für alle i ∈ {1, 2, ..., n} heißt Vielfaches
i=1
von x.
n
P
Schreibweise:
x = nx
i=1
n
Q
(ii) Ein Produkt
xi mit xi = x für alle i ∈ {1, 2, ..., n} heißt Potenz
i=1
von x.
n
Q
Schreibweise:
x = xn (Bemerkung: x0 = e)
i=1
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