Generell lassen sich für endliche Gruppen solche Gruppentafeln

Generell lassen sich für endliche Gruppen solche Gruppentafeln aufstellen.
Beispiel 1.16 — Die Teilmenge {π1 , π2 , π3 } ⊂ S3 , welche nur die geraden
Permutationen (sign(πi ) = +1) von S3 enthält, bildet bezüglich der Hintereinanderausführung auch eine Gruppe. Es stellt eine Untegruppe von
(S3 , ◦) dar.
Definition 1.5 — Eine Teilmenge U der Gruppe G heißt Untergruppe von G,
wenn U bezüglich der Gruppenverknüpfung ◦ von G selbst eine Gruppe
(U, ◦) ist.
Wir hatten schon einige Male im Zusammenhang mit reellen oder komplexen Zahlen
den Begriff “Zahlenkörper” erwähnt. Ein Zahlenkörper, oder generell ein Körper,
ist eine algebraische Struktur auf der zwei Verknüpfungen, eine Addition und eine
Multiplikation, erklärt sind.
Definition 1.6 — Ein Körper (K, +, ·) besteht aus einer nicht-leeren Menge
K, auf der 2 Verknüpfungen “+” und “·” definiert sind, sodass folgende
Eigenschaften gelten:
i) (K, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. Das
zu α ∈ K inverse Element bezüglich der Addition wird üblicherweise
mit −α bezeichnet.
ii) (K\{0}, ·) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 1.
Das zu α ∈ K inverse Element bezüglich der Multiplikation wird
üblicherweise mit α−1 oder auch oft mit α1 bezeichnet.
iii) ∀ α, β, γ ∈ K : α · (β + γ) = α · β + α · γ
(α + β) · γ = α · γ + β · γ
(Distributivität)
iv) 1 6= 0
Bemerkung — Es wird manchmal zwischen kommutativem Körper (entspricht
obiger Körperdefinition) und nicht-kommutativem Körper (α · β 6= β · α),
auch Schiefkörper genannt, unterschieden.
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Bemerkung — Bei der Formulierung der Distributivität wurde schon die all-
gemein gebräuchliche Konvention verwendet, dass Multiplikation vor Addition geht, sofern nicht durch Klammersetzung etwas Anderes gefordert
wird. Weitere gebräuchliche Schreibweisen sind ferner α + (−β) ≡ α − β,
α · β ≡ αβ und α · β −1 ≡ αβ .
Eine Vorstufe zum Körper, die in der Mathematik sehr große Bedeutung besitzt, ist
der Ring.
Definition 1.7 — Ein Ring (R, +, ·) besteht aus einer nicht-leeren Menge R,
auf der 2 Verknüpfungen “+” und “·” definiert sind, sodass folgende
Eigenschaften gelten:
i) (R, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0.
ii) Die Multiplikation ist auf R abgeschlossen und assoziativ.
iii) ∀ α, β, γ ∈ K : α · (β + γ) = α · β + α · γ
(α + β) · γ = α · γ + β · γ
(Distributivität)
Bemerkung — Ist die Multiplikation auch kommutativ, so spricht man von
einem kommutativen Ring.
Besitzt ein Ring ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, so
spricht man von einem Ring mit Einselement.
Beispiel 1.17 — (Q, +, ·), (R, +, ·) und (C, +, ·) stellen bezüglich der üblichen
Addition und Multiplikation Körper dar.
Beispiel 1.18 — (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Einselement, aber kein
Körper.
Beispiel 1.19 — (K, +, ·) mit K = {0, 1} und
+:
·:
0 + 0 = 1 + 1 = 0,
1·1=1
0+1=1+0=1
(0 · 0 = 1 · 0 = 0 · 1 = 0)
ist ein Körper. Die Multiplikationsregeln in Klammer folgen mit Hilfe von
Distributivität und müssen nicht von vornherein definiert werden.
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Nun haben wir alle Ingredienzien, um den Begriff des Vektorraums einzuführen.
Definition 1.8 — Ein Vektorrraum V über dem Körper K besteht aus einer
kommutativen Gruppe (V, ⊕), deren Elemente man Vektoren nennt, einem Körper (K, +, ·) (“Skalarenkörper”) und einer Multiplikation ⊙ von
α ∈ K mit a ∈ V :
⊙:
K×V →V
(α, a) 7→ α ⊙ a
(Abgeschlossenheit)
die folgende Eigenschaften aufweisen soll:
i) ∀ α, β ∈ K ∀ a ∈ V : (α · β) ⊙ a = α ⊙ (β ⊙ a)
(Assoziativität)
ii) ∀ α, β ∈ K ∀ a, b ∈ V : α ⊙ (a ⊕ b) = α ⊙ a ⊕ α ⊙ b
(α + β) ⊙ a = α ⊙ a ⊕ β ⊙ a
(Distributivität)
iii) ∀a ∈ V : 1 ⊙ a = a mit 1 ∈ K . . . Einselement in K
Bemerkung — Bei einem Vektorraum hat man es mit 4 verschiedenen Ver-
knüpfungen zu tun, die in der obigen Definition durch verschiedene Symbole wohl unterschieden wurden. Beim täglichen Rechnen wird aber in
der Notation nicht zwischen ⊕ und + bzw. ⊙ und · unterschieden. Man
verwendet dann für die Addition immer +, egal ob Addition von Vektoren oder Skalaren. Analog verwendet man für die Multiplikation generell
·, oder läßt das Multiplikationszeichen überhaupt weg.
Bemerkung — Wird in der Definition des Vektorraums der Körpers K ein
Ring R verwendet, so spricht man von einem R-Modul.
Bemerkung — Ist auf dem Vektorraum V zusätzlich zur Addition a ⊕ b noch
eine Multiplikation a × b von Vektoren definiert, die abgeschlossen und
assoziativ (auch bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar) ist, so
wird aus dem Vektorraum eine Algebra.
Beispiel 1.20 — Kn×m := {Â | Â ist eine n × m-Matrix mit aij ∈ Körper K},
augestattet mit der üblichen (elementweisen) Matrizenaddition + und der
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üblichen (elementweisen) Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar ·,
stellt einen Vektorraum über dem Körper K dar. Spezialfälle erhält man
für K = Q, R, C.
Beispiel 1.21 — Kn×n , ausgestattet mit der übliche (elementweisen) Matrizen-
addition, der üblichen (elementweisen) Multiplikation einer Matrix mit
einem Skalar und der übliche Matrizenmultiplikation, stellt eine Algebra
über dem Körper K dar.
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