B Gruppen, Körper und Vektorräume

B
Gruppen, Körper und Vektorräume
Def. 1a: Ein Paar (G, ◦), bestehend aus einer Menge G und einer Verknüpfung ◦ :
G × G → G, die jedem geordneten Paar von Elementen a, b ∈ G ein Element c ∈ G
zuordnet, (a, b) 7→ c = a ◦ b, heißt Gruppe, wenn folgende Axiome erfüllt sind:
(G1) Für alle a, b, c ∈ G gilt das Assoziativgesetz: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).
(G2) Es gibt ein neutrales Element e ∈ G, mit dem für alle a ∈ G gilt: a ◦ e = e ◦ a = a.
(G3) Zu jedem a ∈ G gibt es ein Inverses a−1 ∈ G mit a−1 ◦ a = a ◦ a−1 = e.
Bem. 1: Das neutrale Element e und das zu einem gegebenen Element a ∈ G Inverse
a−1 sind jeweils eindeutig bestimmt. Sind nämlich e1 und e2 beide neutral, so folgt
e2 = (a−1 ◦ a) ◦ e2 = a−1 ◦ (a ◦ e2 ) = a−1 ◦ (a ◦ e1 ) = (a−1 ◦ a) ◦ e1 = e1 .
(364)
−1
Sind a−1
1 und a2 beides Inverse zu a, so folgt
−1
−1
−1
−1
−1
a−1
2 = a2 ◦ (a ◦ a1 ) = (a2 ◦ a) ◦ a1 = a1 .
(365)
Def. 1b: Die Gruppe (G, ◦) heißt abelsch, wenn außerdem folgendes Axiom erfüllt ist:
(G4) Für alle a, b ∈ G gilt: a ◦ b = b ◦ a.
Bsp. 1: Abelsche Gruppen sind:
(Z, +),
(Q, +),
(R, +),
(C, +),
(Q\{0}, ·),
(R\{0}, ·),
(C\{0}, ·).
(366)
Weitere abelsche Zahlengruppen bezüglich der Multiplikation sind die reellen bzw. die
komplexen Zahlen vom Betrag 1,
({−1, 1}, ·),
({e i φ | 0 ≤ φ < 2π}, ·).
(367)
Nicht-abelsche Gruppen von Matrizen sind (bezüglich der Matrizen-Multiplikation):
GL(n, K),
SL(n, K),
O(n),
U(n),
SO(n),
SU(n).
(368)
Weitere nicht-abelsche Gruppen sind die Symmetrische Gruppe Sn und die Alternierende
Gruppe An ⊂ Sn , die aus den geraden Permutationen der Sn besteht.
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Def. 2: Ein Tripel (K, +, ·), bestehend aus einer Menge K, einer Addition + : K×K → K
und einer Multiplikation · : K × K → K, heißt Körper, wenn folgende Axiome gelten:
(K1) Das Paar (K, +) bildet eine abelsche Gruppe. Deren neutrales Element wird mit 0,
das zu a ∈ K Inverse mit −a bezeichnet.
(K2) Das Paar (K\{0}, ·) bildet eine abelsche Gruppe. Deren neutrales Element wird
mit 1, das zu a ∈ K\{0} Inverse mit a−1 bezeichnet.
(K3) Für alle a, b, c ∈ K gilt das Distributivgesetz: a · (b + c) = (a · b) + (a · c).
Bem. 2: Vereinbart man die Regel “Punkt vor Strich”, so kann man einfacher schreiben:
a·(b+c) = a·b+a·c. Der Multiplikationspunkt wird meistens fortgelassen, a(b+c) = ab+ac.
Es folgt sofort:
a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0 = 0.
(369)
Bsp. 2: Die beiden wichtigsten Körper sind (R, +, ·) und (C, +, ·). Ein weiteres Beispiel
ist der Körper (Q, +, ·). Auch (K, +, ·), mit
n
o
√ K = x + y 3 x, y ∈ Q ⊂ R,
(370)
ist ein Körper. Dagegen ist (Z, +, ·) kein Körper.
Def. 3: Eine abelsche Gruppe (V, +) bildet einen Vektorraum über dem Körper K, wenn
es eine äußere Multiplikation · : K × V → V, (λ, ~a) 7→ λ · ~a gibt, sodaß für alle λ, µ ∈ K
und alle ~a, ~b ∈ V folgende Eigenschaften gelten:
(V1) λ · (~a + ~b) = λ · ~a + λ · ~b.
(V2) (λ + µ) · ~a = λ · ~a + µ · ~a.
(V3) (λ · µ) · ~a = λ · (µ · ~a).
(V4) 1 · ~a = ~a.
Bsp. 3: Mit den üblichen Rechenoperationen sind Rn und Cn Vektorräume über den
Körpern R bzw. C.
Ein Beispiel für einen abstrakten Vektorraum ist die Menge Pn (R) der reellen Polynome
p(x) vom Grad ≤ n,
p(x) = an xn + ... + a1 x + a0
(an , ..., a1 , a0 ∈ R),
(371)
bezüglich der üblichen Addition von Polynomen und deren Multiplikation mit einer reellen
Zahl.
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