Die reellen Zahlen

Kapitel 2
Die reellen Zahlen
Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen
eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung
hergeleitet, mit denen dann die sogenannte axiomatische Darstellung der
reellen Zahlen begründet wird. Diese Darstellung wird in der Mathematik
vorgezogen, da sie einen besseren Überblick über die Eigenschaften der
reellen Zahlen erlaubt.
2.1
Zahlbereiche
Als Kind entwickelt der Mensch einen Begriff von Zahlen naturgemäß durch
das Zählen. Der dafür ausreichende erste Zahlbereich ist die Menge der
natürlichen Zahlen
N = 1, 2, 3, . . . .
Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert
man sie zur Menge der ganzen Zahlen
Z = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . .
Diese Menge ist wiederum nicht abgeschlossen unter Division, also führt
man die Menge der rationalen Zahlen
p
p, q ∈ Z, q > 0
:
Q=
q p und q sind teilerfremd
ein. In dieser Zahlenmenge kann man zwar die klassischen Operationen
durchführen, aber dennoch ist diese Menge noch nicht ausreichend, um
etwa die Welt zu beschreiben. So erfüllt etwa die Diagonallänge d eines
27
A. Deitmar, Analysis, DOI 10.1007/978-3-642-54810-9_2,
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
28
Tisches mit Kantenlänge 1 nach dem Satz des Pythagoras die Gleichung
d2 = 1 + 1 = 2. Diese Zahl d kann aber keine rationale Zahl sein, wie die
folgende Proposition zeigt.
Proposition 2.1.1. Es gibt keine rationale Zahl r mit r2 = 2.
p
Beweis. Angenommen doch, etwa r = q , dann kann man annehmen, dass
nicht beide Zahlen p und q durch 2 teilbar sind, denn sonst kann man ja den
gemeinsamen Faktor 2 aus dem Bruch herauskürzen. Durch Quadrieren
erhält man 2 = r2 =
p2
,
q2
also p2 = 2q2 . Damit ist p2 eine gerade Zahl und
folglich ist auch p gerade, etwa p = 2k mit k ∈ Z. Es folgt 2q2 = p2 = (2k)2 =
4k2 , also q2 = 2k2 . Damit ist auch q eine gerade Zahl, was der Annahme,
dass nicht beide p und q durch 2 teilbar sind, widerspricht!
Da die rationalen Zahlen also zur Beschreibung der Welt nicht ausreichen,
führt√man die reellen Zahlen ein, in denen es unter anderem auch eine Zahl
r = 2 gibt, deren Quadrat die Zahl 2 ist. In der Schule versteht man unter
der Menge der reellen Zahlen die Menge aller Dezimalzahlen mit eventuell
unendlich vielen Nachkommastellen, also zum Beispiel
π = 3, 141592653589793...
oder
√
2 = 1, 414213562373095...
In diesem Buch werden Dezimalzahlen allerdings nicht benutzt und dies geschieht aus gutem Grund. Zunächst einmal haben auch die Dezimalzahlen
ihre Tücken, da die Dezimaldarstellung einer reellen Zahl nicht eindeutig
ist, so ist zum Beispiel
0, 999 . . . = 1,
wobei die linke Seite die Dezimalzahl mit unendlich vielen Neunen sein
soll. Wenn man also mit Dezimalzahlen arbeiten will und diese die reellen Zahlen eindeutig darstellen sollen, muss man Neuner-Enden verbieten,
was zu unangenehmen Fallunterscheidungen führt. Darüber hinaus gibt
es aber auch noch grundsätzlichere Gründe, Dezimalzahlen nicht zu benutzen. Um sich vor Irrtümern zu schützen, muss der Mathematiker sich
nämlich Klarheit über alle Rechengesetze verschaffen, die in R gelten. Hierzu benutzt man die sogenannte axiomatische Darstellung der reellen Zahlen.
Das bedeutet, dass man eine möglichst kleine Anzahl von Rechengesetzen
finden will, aus denen sich alle anderen durch Schlussfolgerungen herleiten
lassen. Diese grundlegenden Rechengesetze werden dann Axiome genannt.
Diese Axiome stützen sich naturgemäß nicht so sehr auf die Darstellung
2.2. KÖRPER
29
der reellen Zahlen zum Beispiel als Dezimalzahlen, sondern auf die Gesetze, die zwischen ihnen gelten. Der interessante Punkt ist, dass diese Gesetze
tatsächlich ausreichen, um die reellen Zahlen eindeutig festzulegen, man
also im Grunde gar keine explizite Darstellung nötig hat. Die Axiome, die
man zur Beschreibung der reellen Zahlen benutzt, werden in den nächsten
Abschnitten angegeben.
2.2
Körper
Die in den reellen Zahlen geltenden Rechengesetze, die nur die Addition
und Multiplikation betreffen, führen zum Begriff des Körpers, einer Menge
in der es Addition und Multiplikation gibt. In einem allgemeinen Körper
gelten die üblichen, von der Schule bekannten Rechenregeln, wenngleich
sich ein Körper durchaus substantiell von der Menge der reellen Zahlen
unterscheiden kann.
Definition 2.2.1. Ein Körper ist ein Tripel (K , +, ·), bestehend aus einer Menge
K und zwei Abbildungen von K × K nach K , die Addition und Multiplikation genannt werden und in der Form
(a, b) → a + b,
(a, b) → ab
geschrieben werden, wobei verlangt wird, dass für alle a, b, c ∈ K die folgenden Axiome K1-K3 erfüllt sind
K1 Addition
(K1.1) a + (b + c) = (a + b) + c
Assoziativität
(K1.2) Es gibt ein Element 0 in K so dass a + 0 = a gilt.
neutrales Element
(K1.3) Zu jedem a ∈ K gibt es ein b ∈ K mit a + b = 0.
inverses Element
(K1.4) a + b = b + a
Kommutativität
Man sagt zu diesen Gesetzen auch: (K , +) ist eine abelsche Gruppe.
K2 Multiplikation
(K2.1) a(bc) = (ab)c
(K2.2) Es gibt ein Element 1 in K {0},
so dass a1 = a gilt.
(K2.3) Zu jedem a in K {0} gibt es ein b ∈ K {0}
mit der Eigenschaft ab = 1.
Assoziativität
neutrales Element
inverses Element
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(K2.4) ab = ba
Kommutativität
Insbesondere ist dann (K {0}, ·) eine abelsche Gruppe.
K3 Distributivgesetz
a(b + c) = ab + ac.
Diese Axiome sind nun in dem Sinne vollständig, dass sich alle üblichen
Rechenregeln, die nur die Addition und Multiplikation betreffen, aus ihnen
herleiten lassen.
Beispiele 2.2.2.
• Die Menge Q ist mit der üblichen Addition und Multiplikation ein
Körper.
• Jeder Körper hat mindestens zwei Elemente, die Null und die Eins.
Die reichen allerdings auch schon, denn auf der Menge F2 = {0, 1}
kann man Addition und Multiplikation so definieren, dass ein Körper
entsteht. In diesem Körper gilt dann 1 + 1 = 0. Addition und Multiplikation in F2 sind durch folgende Tabellen vollständig beschrieben:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
Anhand dieser Tabellen kann man die Körperaxiome K1-K3 überprüfen.
• Die Menge R der reellen Zahlen ist mit der üblichen Addition und
Multiplikation ein Körper.
Lemma 2.2.3. In einem Körper K sind die neutralen Elemente 0 und 1 eindeutig
bestimmt. Ferner sind zu gegebenem a ∈ K das Inverse der Addition und, falls
a 0 ist, das Inverse der Multiplikation eindeutig bestimmt.
Man schreibt dann auch (−a) für das additive Inverse und a−1 für das multiplikative
Inverse.
Beweis. Sei 0
ein weiteres neutrales Element der Addition. Dann gilt
0
= 0
+ 0 (0 ist neutral)
= 0 + 0
(Kommutativität)
=0
(0’ ist neutral).
2.2. KÖRPER
31
Seien nun b und c zwei additive Inverse zu a ∈ K . Dann gilt
c =c+0
= c + (a + b)
= (c + a) + b
= (a + c) + b
=0+b
=b+0
=b
(0 ist neutral)
(b ist invers zu a)
(Assoziativität)
(Kommutativität)
(c ist invers)
(Kommutativität)
(0 ist neutral)
Die entsprechenden Aussagen für die Multiplikation werden analog bewiesen. Eine Ausführung dieses Beweises sei dem Leser zur Übung empfohlen.
Schreibweise: Statt a + (−b) schreibt man einfacher a − b. Ebenso schreibt
a
man statt ab−1 auch . Man kann aus den Körperaxiomen die üblichen
b
ac
Rechenregeln herleiten, wie zum Beispiel ba dc = bd
oder ba + dc = ad+bc
bd für
a, b, c, d ∈ K mit b 0 d. Um diese beiden Rechenregeln zu beweisen,
kann man sich am Beweis des letzten Lemmas orientieren.
Lemma 2.2.4 (Folgerungen aus den Körperaxiomen). Sei K ein Körper.
a) Für a, b ∈ K hat die Gleichung a + x = b genau eine Lösung in K , nämlich
das Element x = b − a.
b) Für jedes a ∈ K gilt −(−a) = a.
c) Für alle a, b ∈ K gilt −(a + b) = −a − b.
d) Für jedes a 0 und jedes b ∈ K hat die Gleichung ax = b genau eine Lösung
in K , nämlich x = ba−1 .
e) Für alle a, b, c ∈ K gilt (a + b)c = ac + bc.
f) Für jedes a ∈ K gilt a0 = 0.
g) (Nullteilerfreiheit) Ist das Produkt ab zweier Elemente eines Körpers gleich
Null, so muss mindestens eines der beiden Elemente Null sein.
h) Für alle a ∈ K gilt (−1)a = −a.
i) Es gilt (−1)(−1) = 1.
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
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Beweis. (a) Das Element x = b − a stellt sich als die gesuchte Lösung heraus:
a + (b − a) = a + (b + (−a))
= a + ((−a) + b)
= (a + (−a)) + b
=0+b
=b
(Schreibweise)
(Kommutativität)
(Assoziativität)
(Inverses Element)
(Neutrales Element).
Nun zur Eindeutigkeit. Ist x ∈ K eine Lösung der Gleichung, so gilt
x =0+x
= ((−a) + a) + x
= (−a) + (a + x)
= (−a) + b
= b + (−a)
=b−a
(Neutrales Element)
(Inverses Element)
(Assoziativität)
(x ist Lösung)
(Kommutativität)
(Schreibweise).
(b) Es gilt a + (−a) = 0, also ist a das eindeutig bestimmte additive Inverse
zu (−a), also a = −(−a).
(c) Ab jetzt lassen werden bei den Rechnungen die expliziten Begründungen
weggelassen (in der Hoffnung, der Leser möge sie selbst finden).
(a + b) + (−a − b) = (b + a) + (−a − b)
= b + (a + (−a − b)
= b + ((a − a) − b)
= b + (0 − b)
= b − b = 0.
Also ist (−a − b) das eindeutig bestimmte additive Inverse zu a + b, was
gerade bedeutet −(a + b) = (−a − b).
(d) ist analog zu (a) und (e) folgt aus
(a + b)c = c(a + b) = ca + cb = ac + bc.
(f) Es gilt für ein beliebiges Körperelement a,
a0 = a0 + 0 = a0 + (a − a) = (a0 + a) − a
= (a0 + a1) − a = a(0 + 1) − a = a1 − a = a − a = 0.
(g) Ist a = 0 oder b = 0 so folgt nach (f) und der Kommutativität schon ab = 0.
Ist nun umgekehrt ab = 0 und ist a 0, so existiert das multiplikative Inverse
a−1 und es folgt b = 1b = (a−1 a)b = a−1 (ab) = a−1 0 = 0.
2.2. KÖRPER
33
(h) Für ein Körperelement a gilt (−1)a = (−1)a + 0 = (−1)a + a − a = ((−1) +
1)a − a = 0a − a = 0 − a = −a.
(i) Es gilt (−1)(−1) + (−1) = ((−1) + 1)(−1) = 0(−1) = 0, also folgt (−1)(−1) = 1
nach der Eindeutigkeit des additiven Inversen. Damit ist alles bewiesen. Definition 2.2.5. (Potenzen) Für x ∈ K sind die Potenzen xn die Körperelemente
x0 = 1, x1 = x, x2 = xx, . . . xn+1 = xn x.
Lemma 2.2.6. In K gelten die Rechenregeln:
xn+m = xn xm ,
(xn )m = xnm ,
xn yn = (xy)n ,
wobei x, y ∈ K , m, n ∈ N0 .
Beweis. Übungsaufgabe.
Bislang sind noch nicht sehr viele Körper in diesem Buch aufgetreten. Außer
Q und R eigentlich nur noch F2 . Es gibt aber sehr viel mehr Körper. Die
folgende Proposition gibt ein Konstruktionsverfahren an, nach dem man
neue Körper aus alten bauen kann.
Proposition 2.2.7 (Adjunktion einer Wurzel). Sei K ein Körper und sei α ∈ K
ein Element, für das die Gleichung x2 = α keine Lösung x in K hat. Als Beispiel
kann K = Q und α = 2 dienen. Dann ist die Menge L = K × K mit der
komponentenweisen Addition
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
und der Multiplikation
(a, b)(c, d) = (ac + bdα, ac + bc)
ein Körper. Man kann K durch die Abbildung a → (a, 0) als eine Teilmenge von L
auffassen. In L hat die Gleichung x2 = α die Lösungen x = (0, 1) und x = (0, −1).
Schreibweise. Das Element (0, 1) des Körpers L wird auch als
Ein beliebiges Element von L kann dann in der Form
√
(a, b) = a + b α
√
α geschrieben.
geschrieben werden. Der Körper L entsteht aus K durch
√ Adjunktion einer
Wurzel und man schreibt ihn auch in der Form L = K ( α).
√ √
Man beachte, dass die Multiplikation sich aus der Regel α α = α und
dem Distributivgesetz ergibt:
√
√
√
(a + b α)(c + d α) = ac + bdα + (ad + bc) α.
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
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Beweis. Man kann die Körperaxiome problemlos nachrechnen. Das neutrale
Element der Addition, oder Nullelement ist 0L = (0, 0). Das neutrale Element der Multiplikation ist 1L = (1, 0). Das Inverse zur Multiplikation erhält
man wie folgt: Sei (a, b) (0, 0), also a 0 oder b 0. Dann ist a2 − b2 α 0,
denn sonst wäre a2 = b2 α, also b 0 und a/b wäre dann eine Lösung von
x2 = α, was ja nicht sein kann. Dann ist das Element
−b
a
,
a2 − b2 α a2 − b2 α
ein multiplikatives Inverses zu (a, b), denn
−b
a2
b2 α
−ab
ab
a
,
= 2
−
,
+
(a, b) 2
a − b2 α a2 − b2 α
a − b2 α a2 − b2 α a2 − b2 α a2 − b2 α
= (1, 0).
Beispiel 2.2.8. Das prominenteste Beispiel einer Adjunktion einer Wurzel
ist die Wurzel aus −1, die zum Körper R der reellen Zahlen adjungiert wird.
Die Gleichung x2 = −1 hat in R keine Lösung, wie später streng bewiesen
wird. Nach Proposition 2.2.7 existiert dann ein Erweiterungskörper
√ C = R −1
in dem −1 eine Wurzel hat. Man nennt C den Körper der komplexen Zahlen.
Man kann sich den Körper C = R2 , als Ebene vorstellen. Die Addition ist
durch
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
gegeben, kann also als Hintereinandersetzen von Vektoren realisiert werden, wie im folgenden Bild zu sehen ist.
z+w
w
z
Die Multiplikation ist durch
(a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc)
2.3. ANORDNUNG
35
gegeben und kann wie folgt visualisiert werden: Die Längen der beteiligten
Vektoren werden multipliziert und die Winkel, die sie mit der positiven
x-Achse bilden, addiert:
zw
w
α+β
z
α β
Diese Aussagen können im Moment noch nicht streng bewiesen werden,
√
was aber im Abschnitt 4.6 nachgeholt wird. Für die komplexe Zahl −1 =
(0, 1) verwendet man den Buchstaben i. Eine beliebige komplexe Zahl z
schreibt man also in der Form
z = x + iy,
x, y ∈ R
und es gilt i2 = −1. Im folgenden steht zunächst der Körper der reellen
Zahlen im Vordergrund. Der Körper der komplexen Zahlen tritt erst im
Abschnitt 4.5 wieder auf.
2.3
Anordnung
Neben den Grundrechenarten kennen die reellen Zahlen auch Größenvergleiche, d.h., man kann sagen, wann eine Zahl größer oder kleiner als eine
andere ist. Die Größenvergleiche vertragen sich in bestimmter Weise mit
den Rechenarten, was zum Begriff des angeordneten Körpers führt.
Definition 2.3.1. Ein angeordneter Körper ist ein Körper K zusammen mit
einer Relation “<” auf K , die folgende Axiome O1-O4 für alle a, b, c ∈ K
erfüllt. Man liest a < b als “ a kleiner b”.
(O1) Je zwei Zahlen sind vergleichbar, das heißt für a, b ∈ K gilt genau einer
der drei Fälle:
a < b oder a = b oder b < a.
(O2) a < b, b < c ⇒ a < c
Transitivität
KAPITEL 2. DIE REELLEN ZAHLEN
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(O3) a < b ⇒ a + c < b + c
Additivität
(O4) a < b, 0 < c ⇒ ac < bc
Multiplikativität
Man schreibt auch a > b statt b < a und liest dies als ”a größer b”. Das
Zeichen ≤ wird im Sinne von “kleiner oder gleich” benutzt, also
a≤b
⇔
a < b oder a = b.
Eine reelle Zahl a heißt positiv, falls a ≥ 0 und negativ, falls a ≤ 0. Ferner
heißt a strikt positiv, falls a > 0 und strikt negativ, falls a < 0.
Aus (O1) folgt:
a ≤ b und b ≤ a
⇒
a = b.
Beispiele 2.3.2.
• Die Körper Q und R sind mit der gewöhnlichen ’kleiner’-Relation
angeordnete Körper.
• Nicht auf jedem Körper existiert eine Anordnung. Zum Beispiel kann
man auf dem Körper F2 keine Anordnung finden, denn ist 0 < 1, so
folgt durch Addition der Eins 1 = 1 + 0 < 1 + 1 = 0, also 1 < 0 und
ebenso folgt aus 1 < 0 auch 0 < 1, also in jedem Fall ein Widerspruch!
Lemma 2.3.3 (Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen). Seien a, b, x, y
Elemente des angeordneten Körpers K .
a) Es gilt x < y ⇔ 0 < y − x.
b) Man kann Ungleichungen addieren. Gilt etwa a < b und x < y, so folgt
a + x < b + y.
c) Man kann Ungleichungen bedingt multiplizieren:
0 < a < b, 0 ≤ x < y
⇒
ax < by.
d) Bei Vorzeichenwechsel dreht sich das Anordnungszeichen um, es gilt
x<y
⇔
−x > −y.
e) Man kann Ungleichungen mit strikt negativen Zahlen multiplizieren, dann
drehen sie sich allerdings um:
a < b, x < 0 ⇒ ax > bx.
http://www.springer.com/978-3-642-54809-3