Serie 1
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D-INFK
Özlem Imamoglu
Olga Sorkine-Hornung
Lineare Algebra
HS 2017
Serie 1
1. Polar-, kartesische Form von komplexen Zahlen
a) Gegeben seien die komplexen Zahlen
u = 1 − i3
v = 3 + 2i
w = 4 − 5i.
Berechnen Sie u + v + w, u · v, v · w · i,
w v
v , u,
|v|.
√
b) Schreiben Sie die Zahlen −3, i, 1 − i und 2 3 + 2i in Polarform reiθ .
c) Schreiben Sie die komplexen Zahlen 2ei
4π
3
, π2 ei
3π
2
in die kartesische Form um.
2. Komplexe Mengen (Korrektur durch Assistenten)
Zeichnen Sie die folgenden Mengen grafisch in der komplexen Ebene:
a) A := z ∈ C \ {0} : z̄ = z1 ;
b) B := {z ∈ C : 0 < Re (iz) < 1} ;
z−i
c) C := z ∈ C \ {−i} : Im
=0 .
z+i
3. Gleichungen mit komplexen Zahlen
Finden Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen für z ∈ C:
a) z 3 + 8 = 0
b) z 2 + i = 0
Bitte wenden!
4. Gauss-Elimination
a) Gegeben ist das lineare Gleichungssystem (LGS)
= −3
=
2 ,
=
5
x1 + 4x2
x1 + 3x2 + x3
2x1 + 7x2 + 2x3
(1)
welches man als das Eliminationsschema
1 4 0 −3
1 3 1
2
2 7 2
5
(2)
schreiben kann. Lösen Sie das LGS (1) mittels Gauss-Elimination des Eliminationsschemas (2).
b) Für welche Werte von a ∈ R besitzt das homogene lineare Gleichungssystem
x1
+ x3
−x1 + ax2 − 2x3
ax1 + x2
= 0
= 0
= 0
(3)
eine nichttriviale (von 0 verschiedene) Lösung? Geben Sie für diese Fälle alle möglichen
Lösungen an.
5. M ATLAB-Aufgaben
Die Folge f0 , f1 , f2 , f3 , . . . der Fibonacci–Zahlen ist wie folgt definiert:
f0 = 0;
f1 = 1;
fn = fn−1 + fn−2 ,
n>1
Es gelten also f2 = f0 + f1 = 1, f3 = f1 + f2 = 2, f4 = f2 + f3 = 3 usw. .
Schreiben Sie eine M ATLAB-Funktion fibonacci(n), die zu einer gegebenen positiven ganzen
Zahl n die Fibonacci–Zahlen f0 , . . . , fn berechnet. Vervollständigen Sie dazu das Grundgerüst
fibonacci.m von der Homepage der Vorlesung. Geben Sie die Fibonacci–Zahlen f0 bis f9 an.
Abgabe: Do/Fr 5./6. Oktober 2017
http://igl.ethz.ch/teaching/linear-algebra/la2017/
