1 a1=1 1 1 a2=1 1 2 1 a3=2 1 3 3 1 a4=3 1 4 6 4 1 a5=5 1 5 10 10 5

5
1
1
3
2
8
Leonardo di Pisa, alias Fibonacci (Sohn von Bonaccio)
- Zwischen 1170 und 1180 geboren
- Fibonacci – Verkürzung von “Filius Bonacci” – “Sohn des Bonacci”
lernte auf Handelsreisen nach Algerien, Ägypten, Syrien, Griechenland,
Sizilien und in die Provence alle damals bekannten Rechenverfahren kennen
- 1202 erschien sein 459 Seiten umfassendes Werk Liber Abaci
* durch dieses Buch machte er die indische Rechenkunst in Europa bekannt
* es führte die heute übliche arabische Schreibweise der Zahlen ein
- Das genaue Todesjahr ist nicht bekannt, die letzte
Nachricht über ihn ist ein Dekret aus dem
Jahr 1240, in dem ihm die Republik Pisa ein jährliches Gehalt aussetzte
Rekursion
an
an
1
Erzeugende Funktion
3, a1
1, a 2
1
x
1 x x2
f ( x)
1
Explizite Darstellung an
1
5
n
1
2
5
5
n
n 1
2
Der Zusammenhang zwischen dem goldenen
Schnitt und den Fibonacci – Zahlen
Fibonacci – Zahlen in der Biologie
1. Das berühmte Kaninchen - Problem
- Zum Zeitpunkt t=0 lebt ein Kaninchenpaar
- Jedes Kaninchenpaar wird im Alter von zwei Monaten
fortpflanzungsfähig
- Jedes Kaninchenpaar bringt von da an jeden Monat ein
neues Paar zur Welt
- Alle Kaninchen leben ewig
- a zählt die Kaninchenpaare nach dem Monat n
Es gilt:
a
lim n 1
n
an
1,6180339
n 1, a1 1, a2 1
n
a
Der goldene Schnitt
2. Anatomie von Pflanzen
Viele Pflanzen ordnen ihre Samen so an,
dass man von einem Zentrum ausgehend
rechtsdrehende und linksdrehende
Spiralen abzählen kann.
Beim Auszählen stellt man fest, dass die
Anzahlen der rechts- und der linksdrehenden
Spiralen stets zwei aufeinanderfolgende
Fibonacci-Zahlen sind. (Bsp. Sonnenblume,
Tannenzapfen)
1
a5
b
a
a1=1 1
1
a2=1 1
2
1
a3=2 1
3
3
1
a4=3 1
4
6
4
a5=5 1
5 10 10 5
a6=8 ... ...
4
0
a4
1
1
... ... ... ... ...
b
C
A
Bezeichnung für ein
mathematisches Teilverhältnis,
das in der Kunst als
harmonisch angesehen wird.
Eine Strecke AB wird durch
einen Punkt C im Verhältnis
des Goldenen Schnittes
geteilt, wenn sich die
längere Teilstrecke zur
kürzeren Teilstrecke so
verhält, wie AB zu der
längeren Teilstrecke. Die Zahl
bezeichnet den Goldenen
Schnitt. =1,6180339
Fibonacci und das Pascalsches Dreieck:
Die Summen der Zahlen in jeder
Diagonalen bilden die Fibonacci –
Als Beispiel:
Zahlen.
Es soll ein Pflastersteinpfad der Breite 2
angelegt werden. Dazu stehen Steine mit der
Länge 2 und der Breite 1 zur Verfügung.
Wieviele verschiedene Pfade der Länge n
kann man bauen?
an 2 , n
B
b a
b
1
Das Pentagon enthält eine Vielzahl
von goldenen Schnitten
3
1
2
2
3
0
2
1
4
3
3
2
2
0
0
1
0
1
5
0
a6
4
1
5
2
3
2
Das funktioniert immer, da
für die Binomialkoeffizienten
gilt:
n
n
k
k 1
(n, k
Für die Längen 1,2 und 3
und der Länge 4 …
Proseminar 2003: Besondere Zahlen ( Prof. H. Bräsel)
Hagen Mewes & Thomas Pessel
N; 0
Interessante Literatur:
1. http://math-www.uni-paderborn.de/Mathel_02/vorl/woche_16.pdf
2. http://wwwmath.uni-muenster.de/cs/u/jan/MfI/Kapitel/8_Erzeugende_Funktionen.pdf
3. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
4. Trading nach den neuen Fibonacci Regeln. Profitable Strategien für den
Börsenerfolg. Robert und Jens Fischer
5. Fibonacci Numbers, N.N. Vorobiev
n 1
k 1
k
n)