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1.) Leonardo Pisano
Über das Leben von Leonardo Piano ist wenig bekannt. Vermutungen zufolge
wurde er um das 1170 geboren und starb nach 1240. Geburts- und Todesort ist
wahrscheinlich Pisa.
Die letzte Aufzeichnung von Leonardo war in der Stadt Pisa als er eine Pension
erhielt, von diesem Zeitpunkt an fehlen weitere gesicherte Aufzeichnungen und
Hinweise auf sein Leben.
Leonardo Piano übernahm seinen heute bekannten Namen Fibonacci von seinem
Vater der mit dem Patronym „filius Bonacii“(Sohn des Bonacii) auftrat.
Diesen Zuname gab ihm später Edouard Lucas der die Fibonacci-Folge an die
Öffentlichkeit brachte. Bis heute ist Leonardo „filius Bonacii“ Piano bekannt als
Leonardo Fibonacci.
Fibonacci wurde als Sohn des Guliemo Bonacci geboren. Als der Vater jedoch
um das Ende des 12. Jhdts nach Algerien entsandt wurde, ließ er auch seinen
Sohn mit sich kommen um dort im Rechnen unterrichtet zu werden.
Leonardo lernte dort von einem muslimischen Lehrer das indisch-arabische
Zahlensystem und war davon begeistert. Sein Streben nach mathematischem
Wissen brachte ihm durch den ganzen Orient, wo er sein Wissen immer mehr
erweiterte und vertieft.
Um das Jahr 1200 kehrte er nach Pisa zurück um als Privatgelehrter und
mathematischer Schriftsteller tätig zu sein.
1202 entstand sein wichtigstes Werk, der Liber abaci, ein enyklopaedisches
Rechenbuch das der westlichen Welt die arithmetischen Rechenmethoden auf
der Basis des indisch-arabischen Stellenwertsystems vermittelte.
Mit diesem Buch legte Fibonacci den Grundstein für einen Neubeginn der
angewandten Mathematik in Europa.
Seine wohl folgenreichste Leistung war die umfassende Darstellung und
Erläuterung des Rechnens mit den damals noch nicht gebräuchlichen arabischen
Ziffern.
2.) Liber abaci – Die Mathematik Enzyklopädie
Der Liber Abaci sah das Licht der Welt im Jahr 1202. In ihm stellte Fibonacci
das Wissen zusammen, das er während seiner Wanderschaft durch die
arabischen Länder und durch den Mittelmeerraum erworben hatte, und verband
es – wie er selbst sagt – mit eigenen Überlegungen und Ausarbeitungen. Das
Resultat ist ein Werk, das seine Vorbilder an Umfang übertrifft und mit diesen
fachlich wetteifert und das für lange Zeit in der Geschichte der abendländischen
Mathematik unübertroffen bleiben sollte.
Es gibt keinen Bereich der Handelsmathematik, der nicht seinen Platz im Liber
Abaci gefunden hätte: von den Gesellschaften zum Verleih, vom Wechsel zur
Vereinheitlichung der Währungen, vom Verkauf zum Tauschhandel. All dies
wird systematisch und versehen mit einer Reihe von aus laufenden Geschäften
gezogenen Beispielen dargelegt. Für das damalige mathematische Wissen in
Europa, wo als Vorbilder noch immer Autoren der Spätantike wie Boethius und
Cassiodor dienten, repräsentierte der Liber Abaci ein Werk mit
ausserordentlicher Sprengkraft. Für den Handel, der im Begriff war, die
familiäre Organisation der Geschäftsführung zu überwinden, um europäische
Dimensionen anzunehmen, wurde das Werk zur Basis einer präzisen und
vertrauenswürdigen Buchhaltung.
2.1 Das Problem mit den Alten
Eine Behandlung des Liber Abaci
Sieben Alte gehen nach Rom, jede hat sieben Maulesel, jeder Maulesel trägt
sieben Säcke, in jedem Sack befinden sich sieben Brote, jedes Brot hat sieben
Messer, jedes Messer hat sieben Scheiden.
Es wird die Summe von allen gefordert.
Antwort:
Sieben Alte
= 7^1 = 7
mit Sieben Maulesel = 7^2 = 49
mit Sieben Säcke = 7^3 = 343
mit Sieben Brote
= 7^4 = 2401
mit Sieben Messern = 7^5 = 16807
mit Sieben Scheiden = 7^6 = 117649
137256
Insgesamt 137256 Objekte waren hier beteiligt.
3. Fibonacci – Folge
Ein weiteres Problem das Leonardo Fibonacci in seinem Buch behandelt ist die
Kaninchenpopulation, die er mit der Fibonacci – Folge erklaert.
Die Fibonacci-Folge:
0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ....
Fuer viele eine gewoehnliche Anordnung von Zahlen, doch bei naeherem
Betrachten der Zahlenfolge erkennt man ein System.
Die Fibonacci- Folge wird definiert mit dem rekursiven Bildungsgesetz
für
mit den Anfangswerten
F0=0 und F1=1
Das bedeutet in Worten:
- Fuer die beiden ersten Zahlen werden die Werte 0 und 1 vorgegeben.
- Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgaenger
Oft wird jedoch auch f0=0 ausgelassen und mit den Werten 1, 1 angefangen.
Insbesondere dann wenn f0=0 keinen Sinn macht.
Ausführlicher schreibt man F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5,….
Dabei gilt F1 + F2 = F3, F2 + F3 = F4, F3 + F4 = F5, . . . .
Für diese Regeln schreibt man allgemein:
F1 = 1
F2 = 1
Fn + Fn+1 = Fn+2
3.1 Die Kaninchenpopulation
„Ein Mann hält ein Kaninchenpaar an einem Ort, der gänzlich von einer Mauer
umgeben ist. Wir wollen nun wissen, wie viele Paare von ihnen in einem Jahr
gezüchtet werden können, wenn die Natur es so eingerichtet hat, dass diese
Kaninchen jeden Monat ein weiteres Paar zur Welt bringen und damit im zweiten
Monat nach ihrer Geburt beginnen.“
„Leonardo Fibonacci, Liber Abaci“
Monat 1 -> 1 Paar ist auf der Welt
Monat 2 -> 1 Paar kommt auf die Welt
Monat 3 -> 2 Paare …
Monat 4 -> 3 Paare …
Monat 5 -> 5 Paare …
Monat 6 -> 8 Paare …
Monat 7 -> 13 Paare …
Monat 8 -> 21 Paare …
Monat 9 -> 34 Paare …
Monat 10-> 55 Paare …
Monat 11-> 89 Paare …
Monat 12 ->144 Paare …
Jede Zahl in Folge entsteht nach der
Fibonacci-Folge, indem man die
beiden vorhergehenden addiert.
Im 12ten Monat kommen also 144
Paare zur Welt und der Mann hat dann
Insgesamt 377 Kaninchenpaare.
4. Formeln zur Fibonacci-Folge
4.1 Additionsformel
Es gilt:
Fn+m = Fn-1Fm +Fn Fm+1 bei n>0
oder
Fn+m =
Fn Fm-1+Fn+1Fm bei m>0
Beweis mit m=0 und n=1:
F1= 1=F0 x F0 + F1 x F1 = 1 w.A
Beweis mit m=1 und n=0 (mit Additionsformel 2)
F1= 1 = F0 x F0 + F1 x F1= 1 w.A
Weiters gilt:
F2n=Fn+12-Fn-12
und
F2n+1=Fn2+Fn+12
und
F3n=Fn+13+Fn3-Fn-13
.
.
.
4.2 Summenformel der Fibonacci-Zahlen
4.2.1 Summen von Fibonacci-Zahlen
Es gilt:
4.2.2 Summen von Quadraten
Es gilt:
4.2.3 Halbarithmetische Formel
Es gilt:
4.2.4 Noch mehr Formeln
Für passend n in IN gilt:
Fn-2 x Fn-1 x Fn+1 x Fn+2 = Fn4-1 und
Fn+13-Fn-13 = F3n-Fn3 .
5. Formel von Binet
Die beiden Mathematiker Abraham de Moivre und Jaques Phillipe Binet
bildeten unabhaengig voneinander das explizite Bildungsgesetz fuer die
Fibonacci-Folge.
Sie behaupten die Fibonacci Zahlen lassen sich direkt mittels der Formel:
Berechnen, wobei
die beiden Loesungen aus der Gleichung x2 − x − 1 = 0 sind.
So erhaelt man mithilfe der kleinen Loesungsformel die Ergebnisse:
und
Nun soll bewiesen werden, dass man das n-te Glied der berühmten FibonacciFolge mit Hilfe der Formel von Binet für alle n aus der Menge der natürlichen
Zahlen berechnen kann.
Fibonacci-Folge: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Rekursive Definition der Fibonacci -Folge: F(1) = F(2) = 1; F(n+2) = F(n) +
F(n+1)
1. Schritt (Induktionsanfang):
n = 1:
wahre Aussage
Da die Rekursionsformel der Fibonacci - Folge auf die beiden vorhergehenden
Glieder Bezug nimmt, muß man den Induktionsanfang ausnahmsweise auch für
n=2 durchführen.
n = 2:
wahre Aussage
2. Schritt (Induktionsschritt oder Induktionsschluß):
Induktionsvoraussetzung:
Induktionsbehauptung:
Induktionsbeweis:
F(n + 2) = F(n) + F(n + 1) =
Durch eine Nebenrechnung (r2, s2 ausrechnen, s.o. n = 2)
findet man diesen Zusammenhang heraus!
q.e.d.
6.) Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt
Φ ist eine irrationale Zahl. Es zeigt sich, dass sie in einem bestimmten Sinne die
irrationalste aller Zahlen ist. Das bedeutet, dass sie sich nur schlecht durch ein
Verhältnis zweier ganzer Zahlen annähern lässt, ein Umstand, der wesentlich zu
ihrer Bedeutung in Kunst und Natur beiträgt. Am besten lässt sich Φ durch
Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen darstellen
Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier
aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt Φ an. Dies folgt
unmittelbar aus der Näherungsformel für große n:
Diese Quotienten zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen haben eine
bemerkenswerte Kettenbruchdarstellung
Da diese Quotienten im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt konvergieren,
lässt sich dieser als der unendliche Kettenbruch
darstellen.
Nach dem rekursiven Bildungsgesetz an + 1 = an + an − 1 gilt daher:
Sofern dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert Φ konvergiert, muss daher für
ihn gelten:
.
Diese Beziehung gilt aber gerade für den Goldenen Schnitt, wie der Vergleich
mit der ersten Gleichung des vorangehenden Abschnitts zeigt.
Nenner
Zähler
Verhältnis
Abweichung
zu Φ in %
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
1
2
3
5
8
13
21
34
55
89
1,0000
2
1,5000
1,666667
1,60000
1,625
1,615385
1,619048
1,61764
1,618192
- 38,19
23,6069
-7,2946
3,000566
-1,1145
0,43052
-0,16374
0,06265
-0,02392
0,00914
Durch diese Tabelle sieht man dass sich das Verhaeltnis der Fibonacci-Zahlen in
ansteigender Folge immer mehr den Goldenen Schnitt naehert. Doch das
Verhaeltnis wird niemals gleich mit dem Goldenen Schnitt sein da dieser
unendlich viele Stellen nach dem Komma hat, und diese von keiner anderen
Zahl erreicht werden kann.
7.) Die Fibonacci Folge im Pascalschen Dreieck
Der Name geht auf Blaise Pascal zurück. Das pascalsche Dreieck war jedoch
schon früher bekannt und wird deshalb auch heute noch nach anderen
„Entdeckern“ benannt. In China spricht man vom Yang-Hui-Dreieck, in Italien
vom Tartaglia-Dreieck und im Iran vom Chayyām-Dreieck.
Das Pascalsche Dreieck gibt eine Handhabe, schnell beliebige Potenzen von
Binomen auszumultiplizieren.
Das pascalsche Dreieck ist eine geometrische Darstellung der
Binomialkoeffizienten.
Sie sind im Dreieck derart angeordnet, dass jeder Eintrag die Summe der zwei
darüberstehenden Einträge ist. Dieser Sachverhalt wird durch die Gleichung
beschrieben. Dabei kann die Variable n als Zeilenindex und k als Spaltenindex
interpretiert werden, wobei die Zählung mit Null gestartet wird.
Zeilennummer:
0
Pascalsches
Dreieck
1
1
1
2
1
3
1
4
5
1
1
5
Allgemein gilt:
(a+b)0 = 1
1
2
3
4
Binomische Formeln:
(a+b)1 = a+b
1
3
6
10
(a+b)2 = a2+2ab+b2
1
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
4
10
1
5
(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
1
(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
7.1) Die Fibonacci Reihe im Dreieck
Wenn man die Zahlen in der Diagonale addiert erhaelt man die Fibonacci-Folge.
z.B.: D1=1
D2= 1
D3=2
D4=3
….. Dn=Fn
8.) Fibonacci Zahlen in der Natur
Überraschenderweise tauchen die Fibonacci-Zahlen auch in der Natur
auf: Die Blätter oder Früchte von Pflanzen bilden oft Spiralmuster. Die
Anzahl der Spiralen sind meist Fibonacci-Zahlen – ein Föhrenzapfen hat
z.B. in der einen Richtung 8, in der anderen 13 Spiralen; bei der unten
abgebildeten Sonnenblume beträgt die Anzahl 21 bzw. 34.
Hier einige weitere Beispiele der Natur die durch die Mathematik
erklaerbar sind:
Wenn man die Anzahlen oder Anordnungen von Blütenblättern an Blumen
genauer untersucht, kann man interessante Muster entdecken.
(1Blüttenblatt)
(2 Blüttenblätter – nicht so häufig)
(3 Bb. - häufiger)
(8 Bb. – nicht ganz so häufig)
(5 Bb. – hunderte Beispiele)
(13 Blüttenblätter)
Gänseblümchen mit 13,21,34,55,89 Bb. kommen recht häufig in der Natur vor.
Index:
http://www.ethbib.ethz.ch/exhibit/fibonacci/fibonacci-01-Biographie.html
http://de.wikipedia.org/wiki/Leonardo_Fibonacci#Der_Inhalt_des_Liber_abbaci
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Verwandtschaft_mit_dem_Goldenen_Schnitt
http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html
http://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt#Zusammenhang_mit_den_Fibonacci-Zahlen
http://www.uni-giessen.de/~g013/goldfibo/goldfibo.pdf
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/fibonacci.htm
www.mathekiste.de/fibonacci/inhalt.html
http://jumk.de/fibonaccizahlen/
Vorobyov, N. N.: The Fibonacci Numbers, D. C. Heath, Boston 1963.
http://www.grin.com/e-book/106338/fibonacci-zahlen/