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Mathe PLUS – Stärkung des Mathematikunterrichts an Mittelschulen in Bayern
Aufgabe des Monats (Juli 2017)
„Faszination Fibonacci“ nach einer Idee von Markus Fügl
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In der folgenden Einheit wird die Fibonacci Zahlenfolge vorgestellt, die in der Mathematik und im Alltag ihre
Anwendung findet.
Baustein 1 und 2– Leitidee: Zahl – Jahrgangstufen: 5-9 – Schlagworte: Rechnen, Zahlenfolge, Entdecken
Sie brauchen…
1. Infoblatt 1 und 2
2. Arbeitsblatt 1 und 2
3. Evtl. Ananas, Kiefernzapfen (oder andere), Sonnenblume (dort ist die Fibonacci Folge zu sehen, andere
Blumen haben häufig die Blütenzahl entsprechend einer Fibonacci Zahl: Lilie (3), Butterblumme oder
Rittersporn (5), Ringelblume (13), Astern (21), Rosen (24, 55), Sonnenblumen (34, 55, 89 bis zu 144)
4. eine 50m-Bahn
5. acht Hütchen jeweils im Abstand von genau 10 Metern (vier Übungsstrecken)
So können Sie vorgehen:
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Sie können den Schülern zu Beginn der Unterrichtseinheit oder zum Ende Informationen über Fibonacci
geben (Infoblatt 1 und 2)
Nachdem die Schüler Arbeitsblatt 1 bearbeitet und die Fibonacci Zahlen herausgefunden haben, können sie
Arbeitsblatt 2 bearbeiten.
Mögliche Weiterarbeit
Die „Goldene Zahl“, der „Goldene Winkel“, der „Goldene Schnitt“
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Infoblatt 1
Wer ist eigentlich Fibonacci?
LEONARDO VON PISA (auch FIBONACCI) gilt als der erste europäische „Fachmathematiker“ des Mittelalters. Er
behandelte vor allem zahlentheoretische Probleme, wobei die von ihm angegebenen Lösungsverfahren über die
Kenntnisse des arabischen und auch des griechischen Kulturkreises hinausgingen.
Persönliches
Von LEONARDO kennt man nur wenige Lebensdaten. Er lebte von etwa 1180 bis etwa 1250 und entstammte einer
angesehenen Kaufmannsfamilie. Der Vater war Konsularbeamter der Republik Pisa in Tunesien, er bestimmte einen
Mauren als Erzieher des Knaben, und dadurch wurde der junge LEONARDO auch mit den mathematischen
Leistungen der Araber vertraut gemacht.
Später bereiste LEONARDO als Handelsbeauftragter seiner Heimatstadt u. a. Ägypten, Syrien, Griechenland und
Sizilien. Er nutzte diese Gelegenheit, um sich mit den wissenschaftlichen Leistungen jener Völker zu befassen und sie
sich autodidaktisch anzueignen. So verbanden sich in LEONARDO gleichsam zwei Kulturkreise.
Das erklärt auch, dass er unter zwei Namen bekannt wurde: Der italienischen Tradition folgend setzte er zum einen
hinter das LEONARDO den Namen seiner Vaterstadt (man vergleiche etwa LEONARDO DA VINCI). Zum anderen fügte
er nach arabischem Brauch das Wort „Sohn“ und den Namen des Vaters (Bonaccio) an, wobei aus „figlio Bonacci“
verkürzt FIBONACCI wurde, unter welchem Namen er in die Geschichte der Mathematik einging.
FIBONACCIs Beitrag zur Arithmetik – das „Liber abaci“
In Europa lag die Mathematik seit dem Niedergang der griechischen Kultur darnieder. Es waren zunächst die Inder,
die mit der Entwicklung der Zahlsysteme und des Rechnens eine neue Blütezeit eingeleitet hatten, und anschließend
hatten die Araber mit der Begründung der ebenen und räumlichen Trigonometrie die Entwicklung vorangebracht.
Die Situation verlangte geradezu danach, diese Erkenntnisse auch in Europa zu verbreiten, und niemand war dazu
besser berufen als FIBONACCI, der all dieses Wissen aufgenommen und auch noch erweitert hatte.
Im Jahre 1202 erschien sein aus 15 Abschnitten bestehendes Werk „Liber abaci“ (Buch vom Abakus), die erste
europäische Gesamtdarstellung der Arithmetik. Der Titel des Werkes war allerdings irreführend. FIBONACCI
propagierte damit nicht das Rechnen auf dem Abakus, also dem Rechenbrett mithilfe von Plättchen. Er propagierte
vielmehr die arabischen Ziffern und das Rechnen mit diesen Zahlen. Das war eine schwierige Aufgabe, denn es
bestand ein weitverbreitetes Misstrauen gegen diese Zahlen. So wurde deren Benutzung noch 1299 in Florenz von
den Stadtvätern verboten.
Über FIBONACCI wird folgende Begebenheit erzählt: Im Jahre 1225 gab es in Pisa einen der damals üblichen
Rechenwettstreite. Die Teilnehmer hatten dabei komplizierte Aufgaben zu lösen. Eine solche Aufgabe war die
folgende:
Man suche eine rationale Zahl, deren Quadrat um 5 vermehrt wie auch um 5 vermindert, wieder ein Quadrat ergibt.
FIBONACCI fand als Lösung den Bruch , und er ging als glanzvoller Sieger aus dem Wettbewerb hervor. Der
Staufenkaiser FRIEDRICH II., der dem Wettstreit beigewohnt hatte, stellte ihm einen Wunsch frei. FIBONACCI erbat
sich, der Kaiser möchte die Verbreitung der arabischen Zahlen fördern. Das versprach FRIEDRICH II. zwar, doch auch
er konnte sich damit nicht durchsetzen. Beispielsweise dauerte es bis 1494, dass die MEDICI in ihren Verwaltungen
generell zu den arabischen Zahlen übergingen. Dennoch trug FIBONACCIs Buch zu ihrer Verbreitung und dem
Übergang zur dezimalen Schreibweise bei.
FIBONACCI setzte auch die Verwendung einer Reihe von Begriffen und Symbolen durch. Dazu gehörten
▪ Begriffe wie etwa Gleichung (equatio), censo für Quadrat, res (Sache) für die Unbekannte;
▪ Symbole wie der aus dem r (von radix - Wurzel) entwickelte Wurzelhaken oder der Bruchstrich;
▪ die negativen Zahlen, die er als Schulden auffasste.
Im Grunde wurde im „Liber abaci“ das gesamte mathematische Wissen jener Zeit zusammengefasst, systematisiert
und angereichert, und dieses Werk wurde lange Zeit nicht übertroffen. Man findet darin beispielsweise
Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 9.
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Infoblatt 2
Die Fibonacci-Folge (die fibonaccischen Zahlen)
Vieles in seinen Werken hat FIBONACCI von Vorgängern übernommen und „nur“ systematisiert und bereichert. Mit
einer Entdeckung ist indes sein Name bis heute verbunden. Den Ausgangspunkt dafür bildete eine zunächst
sonderbar anmutende Problemstellung:
Wie viele Kaninchenpaare können in einem Jahr von einem einzigen Paar erzeugt werden, wenn Folgendes gelten
soll:
(1) Das Paar bringt monatlich ein neues Paar zur Welt.
(2) Jedes neue Paar erzeugt vom zweiten Monat an monatlich ein neues Paar.
(3) Es gibt in dieser Zeit keine Todesfälle.
Im ersten Monat ist nur ein Paar vorhanden, im zweiten Monat sind es bereits zwei Paare. Im dritten Monat
kommen vom ersten Paar ein neues und im vierten Monat vom ersten und zweiten Paar je ein neues hinzu, sodass
dann insgesamt fünf Paare vorhanden sind. Das ergibt für die Gesamtzahlen die Folge
1; 2; 3; 5; 8; 13; 21 ...
Erst viel später stellte sich heraus, dass diese Folge ganz unerwartet in anderen mathematischen Problemen eine
Rolle spielt, etwa beim Goldenen Schnitt und beim pascalschen Dreieck, und dass zum Beispiel auch die
Verästelungen bei Bäumen gewöhnlich diesem Bildungsgesetz folgen. Auch eine Ananas und Kiefernzapfen von
unten betrachtet oder Sonnenblumen folgen der Fibonacci Folge (suche nach dem Spiralmuster).
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aus: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/fibonacci
Arbeitsblatt 1
Die Fibonacci Zahlen
Anhand dieser Aufgabe leitete Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt, im Jahre 1202 seine berühmte
Zahlenfolge her.
Ein neugeborenes Kaninchenpaar ist nach einem Monat geschlechtsreif und wirft also ab dem zweiten
Monat jeden Monat ein neues Kaninchenpaar, welches wiederum nach einem Monat geschlechtsreif ist und
wiederum ein Paar Junge wirft.
Erstelle einen Stammbaum für 6 Monate, unter der Annahme, dass die Kaninchen unsterblich sind und pro
Wurf immer ein Männchen und ein Weibchen zur Welt kommen.
A
r
b
e
i
t
s
b
l
a
t
t
2
F
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iFibonacci Rätselspaß
1. Jede Zahl in der Fibonacci Folge ist die Summe der letzten beiden Zahlen:
0+1=1; 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13; ...
Ergänze die Reihe um fünf Fibonacci Zahlen!
2. Die Zahl 89 der Fibonacci Folge ist die Summe der zwei Zahlen vorher.
a) Welche Zahlen sind das?
b) Welche Zahl kommt nach der 89 in der Fibonacci Folge?
3. Schreibe vier aufeinander folgende Fibonacci Zahlen auf, zum Beispiel: 5, 8, 13, 21
a) Schreibe die beiden mittleren Zahlen heraus. Nimm diese jeweils mit sich selbst mal. Ziehe das
größere vom kleineren Ergebnis ab.
13  13 = 169; 8  8 = 64; 169 – 64 =
b) Berechne das Produkt der beiden äußeren Zahlen: 5  21=
Was siehst du? Probiere das noch für ein paar andere Vierergruppen von aufeinander folgenden
Fibonacci Zahlen aus.
Was kannst du beobachten?
4. Suche dir eine Ananas, eine Sonnenblume, einen Kiefernzapfen.
Untersuche die verschiedenen Naturprodukte. Was fällt dir auf?
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