TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT M ¨UNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, D R . H ERMANN VOGEL
Lineare Algebra für Informatik (SS 2007)
— Aufgabenblatt 3 (11. Mai 2007) —
— Präsenzaufgaben —
P 22. Gruppe der Einheiten
Seien (R, ⊕, ) ein Ring mit Einselement und M ⊆ R die Menge aller invertierbaren Elemente von R bezüglich der
Multiplikation .
1. Zeigen Sie, dass (M, ) eine Gruppe (die Einheitengruppe von R) ist. Welche Struktur besitzt (M, ⊕, ) ?
2. Bestimmen Sie die Einheitengruppe von Z10 .
P 23. Darstellungsformen komplexer Zahlen
Eine komplexe Zahl z ∈ C lässt sich darstellen
• in Normalform oder kartesischer Form : z = a + ib mit a, b ∈ R
• in trigonometrischer Form: z = r(cos ϕ + i sin ϕ) mit r, ϕ ∈ R
• in Exponentialform: z = reiϕ mit r, ϕ ∈ R
Das Tupel (a, b) beschreibt die kartesischen Koordinaten der komplexen Zahl z in der Gaußschen Zahlenebene R×iR.
Das Tupel (r, ϕ) gibt die komplexe Zahl z in Polarform an, wobei r ∈ R+ und ϕ aus einem Intervall der Länge 2π
gewählt werden können.
1. Wie lassen sich kartesische Form und Polarform einer komplexen Zahl ineinander umrechnen ?
2. Geben Sie folgende komplexe Zahlen in allen drei möglichen Darstellungsformen an:
p
√
√
2
a) 2ei 3 π
b) 3 + 4i
c) −( 5 + 1) − i 10 − 2 5
3. Welche Vorteile haben die verschiedenen Darstellungen beim Rechnen mit komplexen Zahlen ?
P 24. Rechnen wie verhext mit konjugiert komplex
Es sei z = a + bi ∈ C, a, b ∈ R. Die zu z konjugierte √
Zahl z ist z = a − bi. Der Realteil Re(z) von z ist a, und der
Imaginärteil Im(z) von z ist b. Die Länge |z| von z ist a2 + b2 ∈ R.
1. Bestimmen Sie Re(z), Im(z) und |z| in Abhängigkeit von z und z.
2. Überprüfen Sie die beiden Rechenregeln: Für alle x, y ∈ C gilt:
a) x + y = x + y,
3. Beweisen Sie, dass eine komplexe Zahl z genau dann reell ist, wenn z = z gilt.
4. Es sei p ∈ R[X] ein Polynom in X vom Grad n ∈ N.
Man zeige: Ist z ∈ C eine Nullstelle von p, dann ist auch z eine Nullstelle von p.
b) x · y = x · y.
— Multiple choice - Aufgaben —
M 25. Zwei, Drei oder Sechs
Welche der nachfolgenden komplexen Zahlen sind 2–te Einheitswurzeln (linkes Kästchen), 3–te Einheitswurzeln
(mittleres Kästchen) oder 6–te Einheitswurzeln (rechtes Kästchen)?
5
222
i
222
3
5
222
−1
222
ei 3 π
√
√
√
2
2
3
1
222
+
i
222
− +
i
2
2
2
2
— Hausaufgaben —
H 26. Rechnen im Ring
Zeigen Sie, dass im Ring (R, +, ·) mit Einselement 1 und Nullelement 0 gilt:
0 · x = 0,
(−1) · x = −x,
(−1) · (−1) = 1
∀x ∈ R.
Dabei bezeichne −x das inverse Element zu x bezüglich der Addition.
√
√
5)
:=
{a
+
b
5 | a, b ∈ Q} bezüglich
H 27. Zeigen Sie, dass die
Menge
Q(
√
√
√
der Addition (a1 + b1 5) +√(a2 + b2 5)√
:= (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) 5 und
√
) + (a1 · b2 + b1√
· a2 ) 5
der Multiplikation (a1 + b1 5) · (a2 + b2 5) := (a1 · a2 + 5 · b1 · b2√
einen Körper bildet. Bestimmen Sie die multiplikativen Inversen zu 1 + 5 und zu 6 − 2 5.
H 28. Sehr komplex.
1. Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form z = a + ib mit a, b ∈ R:
2+i
1+i 4
1 + i 10
(2 − 2i)(1 + 3i) + (1 + i)(2 + 3i)
√
,
,
,
.
3 + 4i
1−i
(3 + i1)(1 − i) + (2 − i)(1 + 3i)
2
2. Bestimmen Sie alle n ∈ N, für die gilt:
(1 + i)n + (1 − i)n = 0.
H 29. Cardano versus Tartalia
Von einer Pyramide der Höhe h mit rechteckiger Grundfläche sei bekannt, dass die eine Seite um 27 m länger als die
Höhe h, die andere Seite um 27 m kürzer als die Höhe h ist und das Volumen V = 177156 m3 beträgt.
1. Zeigen Sie, dass die Höhe h dieser Pyramide eine Nullestelle der Gleichung h3 − 729 · h − 531468 = 0 ist.
2. Bestimmen Sie die Höhe h mit Hilfe der Formel von Cardano.
Abgabetermin ist der 22.05.2007 bis 9:00 Uhr (Einwurfkasten im Untergeschoss des FMI-Gebäudes).
— Informationen —
Am Dienstag, den 15. Mai 2007 finden wegen der Studentenvollversammlung
die Übungsgruppen 1-3 jeweils von 8:30-10:00 Uhr statt.