Mathematik 2

Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
SoSe 2017
Thomas Böhme
Carsten Trunk
BT, EIT, II, MT, WSW
BTC, FZT, LAE, LAM, MB, MTR, OST
Mathematik 2
Übungsserie 1/2 (03.04.2017 - 14.04.2017)
Aufgabe 1 :
Für die folgenden komplexen Zahlen z ∈ C bestimme man Re(z), Im(z), |z| und z.
(b) z = (1 + 2i)2 + (3 + 5i),
(a) z = (4 − 6i) + 2(3 + 2i),
(d) z =
5+2i
4−2i ,
(e) z =
(c) z = i101 ,
(1+i)2
.
(1−i)2
Aufgabe 2 :
Berechnen Sie für die folgenden Winkel ϕ jeweils sin ϕ, cos ϕ, tan ϕ und cot ϕ.
(a) ϕ = π6 , (b) ϕ = π4 , (c) ϕ = π3 , (d) ϕ =
(e) ϕ =
4π
6 ,
(f) ϕ =
3π
4 ,
(g) ϕ =
5π
6 ,
π
2
(h) ϕ = π.
(Hinweis: Verwenden Sie die geometrische Definition der Winkelfunktionen und den Satz
von Pythagoras.)
Aufgabe 3 :
Es sei z = 1 + i. Skizzieren Sie folgende komplexe Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
z, 2z, 3z, 4z, (−1)z, z 2 , z 3 , z 4 , iz, (i2 )z, (i3 )z, (i4 )z.
Aufgabe 4 :
√
√
√
Bestimmen Sie von den komplexen Zahlen z1 = 4i, z2 = 2 + 6i, z3 = 3 3 − 3i und
z4 = −3 − 3i jeweils die exponentielle Polarform und berechnen Sie
z5 =
z24
z3
z2 · z4
, z6 = 34 , z7 =
.
z1
z3 2
z4
Aufgabe 5 :
Skizzieren Sie folgende Mengen von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
(a) {z ∈ C | |z − 1| < 2},
(b) {z ∈ C | Re (z) > 12 },
(d) {z ∈ C | |Im (z)| ≤ 12|Re (z)|, Re (z) < 0}.
(c) {z ∈ C | z = 2eit , t ∈ R},
Aufgabe 6 :
Beweisen Sie, dass für beliebige komplexe Zahlen z, w ∈ C gilt.
(a) z + z = 2Re(z),
(d) |z · w| = |z| · |w|,
(b) z − z = 2iIm(z),
(e) −|z| ≤ Re z ≤ |z|,
(c) (z = z) ⇐⇒ (Im(z) = 0) ⇐⇒ (z ∈ R),
(f) z + w = z + w.
Aufgabe 7 :
Eine harmonische Schwingung kann durch eine Funktion
f : R → R mit f (t) = A sin(ωt + ϕ)
ω
dargestellt werden. Dabei ist f (t) die Auslenkung zum Zeitpunkt t, A die Amplitute, 2π
die Frequenz und ϕ der Nullphasenwinkel der Schwingung. Stellen zwei solche Funktionen
f1 , f2 zwei harmonische Schwingungen dar, so wird die Überlagerung dieser Schwingungen
durch die Summe der Funktionen f1 , f2 dargestellt.
(a) Überzeugen Sie sich, dass jede harmonische Schwingung in der Form Im(Aei(ωt+ϕ) )
dargestellt werden kann.
(b) Zeigen Sie, dass die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen der gleichen
ω
ω
Frequenz 2π
wieder eine harmonische Schwingung der Frequenz 2π
ist.
Aufgabe 8 :
Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ C der folgenden Gleichungen und stelle diese in exponentieller Polarform dar.
(a) z 2 + i = 0, (b) z 3 + i = 0, (c) z 4 + 16 = 0, (d) z 2 + 2z − 2iz − 1 − 2i = 0
Aufgabe 9 :
Wie kann die Funktion f : C → C mit f (z) = zeiψ geometrisch interpretiert werden?
Aufgabe 10 :
Es sei z =
√1 (1
2
+ i). Bestimmen Sie z 100 ohne Taschenrechner mit Hilfe der Polarform.