Aufgaben zu 16: Komplexe Zahlen

Aufgaben zu den Abschnitten 16 { 16
S. 1
Aufgaben zu 16: Komplexe Zahlen
Aufgabe 63:
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrucke komplexer Zahlen:
i2 ,
i5 ,
i8 ,
i 2n ,
i 2n+1 , i 3 i 4 , i 3 (i + i 6 ) , i + i 2 + i 3
Aufgabe 64:
Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in ihrer Normalform\ x + iy dar und zeichen Sie die
"
Zahlen in die komplexe Ebene ein:
1 + 3i + 2 4i 3 + 2i , (2 3i )(1 + 2i ) ,
(2 + 5i )2 ,
(2
5 i )2 ,
2 + 6i
,
3 5i
3 + 2i
,
(1 2i )(3 + i )
(3 + 2i )2 + (7
2
i
3i )( 2 + i ) ,
,
3i
(6 3i )(2 + 4i )
3 4i
(1 + 2i )4 ,
1
1
i,
Aufgabe 65:
Berechnen Sie die komplexe Zahl z , die L
osung folgender Gleichung ist:
(i) (1 + 3i )z + 3 + i = z
1 iz
1+i
=
1 + iz
1 i
3 + 11i
11 + 10i
(iii)
+
z = 24
3 i
1 4i
(ii)
10i
Aufgabe 66:
L
osen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen:
(i) z 2
4z + 7 = 0
(ii) z 2
2z + 2 + 2 = 0
( ,
2 R)
Aufgabe 67:
Bestimmen Sie die L
osungsmenge der Gleichung in C, und skizzieren Sie die zugeh
orige Punktmenge
in der komplexen Ebene:
(a) z + z = 6 ;
(b) z z = 6i ;
(c) z z z + z = 1 ;
(d)
z z z z = 0 ;
(e)
(z
i )2 = (z + i )2 :
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S. 2
Aufgabe 68:
Skizzieren Sie in der komplexen Zahlenebene die Punktmenge, die beschrieben wird durch folgende
Gleichung bzw. Ungleichung:
(a) jz j = 2 ;
(b) jz 2i j = 1 ;
(c) jz + 2j = 1 ;
(d)
jz + 2j < 1 ;
(e)
jz + 1 i j 1 ;
L
osen Sie diese Aufgabe rechnerisch, und skizzieren Sie dann die L
osungsmenge oder bestimmen Sie
die L
osungsmenge direkt durch geometrische Argumentation.
Aufgabe 69:
L
osen Sie die Ungleichung, und skizzieren Sie dann die L
osungsmenge in der komplexen Ebene:
(a)
jz + 1j < jz
1j ;
(b)
jz
(1 + i )j jz j ;
(c)
z i z + i 1 :