Schwingungen

Schwingungen
1. Einordnen des Begriffs Schwingungen
1.1. Bisher behandelte Bewegungsarten:
- gleichförmige Bewegung
- gleichmässig beschleunigte Bewegung
- Kreisbewegung
Nenne die wesentlichen kinematischen Voraussetzungen
Notiere die kinematischen Formeln
Welche Kräfte verursachen diese Bewegungsformen?
1.2. Neu: Harmonische Schwingung:
Einfachster periodischer Vorgang
Fourier zeigte: alle anderen periodischen Vorgänge lassen sich in eindeutiger
Weise aus harmonischen Schwingungen zusammensetzen
1.3. Auftreten harmonischer Schwingungen:
Mechanik, Elektrizität, Optik, Akustik, Atomphysik, Festkörperphysik
Beispiele Mechanik: Federpendel, Fadenpendel, Torsionspendel, Unruh
Beispiele Elektrizität: Wechselspannung, Wechselstrom, Schwingkreis
Beispiel Optik: Lichterzeugung
Beispiele Akustik: Lautsprecher, Stimmgabel
Beispiel Atomphysik: atomare Schwingung (Elementarteilchen)
Beispiel Festkörperphysik: harmonische Eigenschwingungen
1.4. Harmonische Wellen
Breitet sich eine harmonische Schwingung dadurch aus, dass viele Schwinger
(Oszillatoren) schwingen weil sie miteinander wechselwirken, so entsteht eine
Welle. Schallwellen und Licht sind Wellenerscheinungen
2. Das Wesen der harmonischen Schwingung
2.1. Schwingungsfähige Systeme: siehe Lehrbuch
2.2. Das Federpendel
2.2.1. Begriffe
Elongation y, Amplitude ŷ , Schwingungsdauer T, Frequenz f
aus 2.2.2 folgen: Winkel , Kreisfrequenz , Bahngeschwindigkeit v,
Zentripetalbeschleunigung az. Geschwindigkeit der Schwingung vy,
Beschleunigung der Schwingung ay.Phase o.
2.2.2. Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung = Schwingung
Beobachte das Experiment, Untersuche die zug. Cabri-Simulation.
Verfolge im Lehrbuch Seite 10, die kinematischen Formeln. Je nach Lage des
Anfangszeitpunkts (Start der Bewegung) und der gewählten Funktion sin oder
cos ergibt sich die Phase o.
Beachte, dass die Funktion für die Geschwidigkeit die 1. Ableitung der
Elongationsfunktion ist und die Funktion für die Beschleunigung die 2. Ableitung
der Elongationsfunktion ist.
2.2.3. Die Differenzialgleichung der harmonischen Schwingung
a
d2 y
  2 y oder kurz: y   2 y
dt 2
In Worten: Die Schwingungsbeschleunigung ist bei der gesamten Bewegung
ständig der Elongation proportional, hat aber entgegengesetzte Richtung
(Vorzeichen).
2.2.4. Dynamik des Federpendels
Ursache der Schwingungsbewegung ist die Federkraft des Pendels.
F = m a = - D y. Daraus folgt: a 
D
y   2 y.
m
Die Schwingungsdifferenzialgleichung ist damit erfüllt und erlaubt die
Berechnung der Schwingungsfrequenz bzw. der Schwingungsdauer:
2 
4 2
D
m
1
oder f 
 4 2f 2  . Somit folgen: T  2
2
T
m
D
2
D
m
2.2.5. Energie und Energieerhaltung
Handelt es sich um ein konservatives System (keine Reibung), so gilt der
mechanische Energieerhaltungssatz. Die Summe aus momentaner kinetischer
Schwingungsenergie und momentaner Federenergie ist konstant. Diese Summe
ist gleich gross wie die Federenergie zum Zeitpunkt der grössten Auslenkung
oder wie die kinetische Energie zum Zeitpunkt der Ruhelage (Nulldurchgang).
Quantitativ wird dies im Lehrbuch gezeigt.
2.3. Das Fadenpendel
In der Physik geht man eigentlich den umgekehrten Weg als in 2.2 gezeigt.
Nämlich: Man startet die Überlegungen beim Kraftgesetz. Ursache der Bewegung
des Fadenpendels ist nämlich die Hangabtriebskraft der Pendelmasse.
ma  mg sin  mg mit sin  
y
  Dies gilt nur für kleine Winkel,
l
genügend genau unter 5°. Nur diese Näherung ergibt deshalb die Voraussetzung,
dass die Beschleunigung der Elongation proportional ist. a  y  
g
y
l
Aus dem Vergleich dieses Ansatzes mit 2.2 ergeben sich deshalb dieselben
kinematischen Schwingungsformeln wie für das Federpendel, allerdings gelten
diese nur für kleine Auslenkwinkel. Auch ergibt sich direkt die Schwingungsdauer
bzw. Frequenz zu: T  2
l
g
Beachte, wovon und wie die Schwingungsdauer der beiden Pendel abhängig ist.
2.4. Das Torsionspendel
Dieses Pendel schwingt auf Grund der Torsionskraft eines Drahtes oder einer
Schraubenfeder kreisförmig um eine Achse. Dieses Pendel ist vergleichbar mit
dem Federpendel. Es besteht dieselbe Analogie wie zwischen Translations und
Rotationsbewegung. An die Stelle der Elongation tritt der Auslenkwinkel. An die
Stelle der trägen Masse tritt das Trägheitsmoment I (eine Grösse, die wir
demnächst behandeln). An die Stelle der Kraft tritt das Drehmoment, Statt der
Geschwindigkeit geht es hier um die Winkelgeschwindigkeit, statt der
Beschleunigung die Winkelbeschleunigung, statt der Federkonstanten um das
Direktionsmoment (auch mit D bezeichnet).
Differenzialgleichung: M  I  D
Damit ergibt sich für die Schwingungsdauer: T  2
Wir kommen im Praktikum darauf zurück.
I
D