¨Ubungsblatt 3 Mathematische Methoden I

Übungsblatt 3
Mathematische Methoden I
Besprechung: 9.-13.11.2009
Dr. Walter Winter, Stefan Liebler
Gesamtpunktzahl: 21 Punkte
Aufgabe 1: Komplexe Zahlen - Schwingungen (3 Punkte)
In der Physik haben wir es häufig mit Schwingungen
zu tun, beispielsweise mit mechanischen Schwingungen
eines Federpendels, Wechselspannungen oder Wechselströmen. All diese Phänomene lassen sich durch harmoSchwingung y(t) = A sin(ωt + ϕ)
nische Schwingungen beschreiben.
Statt die Überlagerung solcher Schwingungen durch Anwendung zahlreicher Additionstheoreme
umständlich zu berechnen, bieten sich auch hier komplexe Zahlen an. Man schreibt dann statt
i(ωt+ϕi )
yi (t) = Ai sin(ωt + ϕP
. Die
i ) einfach yi (t) = Im(ŷi (t)) mit ŷi (t) = Ai e
P Überlagerung im
Reellen nach y(t) = i yi (t) ist dann analog im Komplexen durch ŷ(t) = i ŷi (t) gegeben. Als
Beispiel wählen wir die Überlagerung von
r
r !
r
π
π
2
1
1
· sin ωt +
und y2 (t) =
−
· sin ωt +
.
y1 (t) =
3
6
2
6
2
y
A
bC
bC
bC
bC
ϕ
ω
T =
t
2π
ω
a) (1 Punkt) In einem ersten Schritt empfiehlt sich die Definition komplexer Amplituden Âi
durch Absorption des Phasenwinkels in der Form ŷi (t) = Ai ei(ωt+ϕi ) = Ai eiϕi eiωt = Âi eiωt
mit Âi = Ai eiϕi . Zeichnen Sie für das Beispiel die Amplituden Â1 und Â2 als Vektoren in
die komplexe Zahlenebene. Man spricht von einem komplexen Zeigerdiagramm.
b) (1 Punkt) Addieren Sie graphisch wie rechnerisch die Amplituden nach  = Â1 + Â2 .
c) (1 Punkt) Im Falle gleicher Frequenzen ω ist die Überlagerung der beiden Schwingungen
im Komplexen dann einfach ŷ(t) = ŷ1 (t) + ŷ2 (t) = (Â1 + Â2 )eiωt = Âeiωt . Schreiben Sie
hierzu  wieder in der trigonometrischen Darstellung  = Aeiϕ und geben Sie dann die
resultierende Schwingung y(t) = Im(ŷ(t)) an.
Aufgabe 2: Komplexe Zahlen - Vermischtes (7 Punkte)
Um mit den komplexen Zahlen vertrauter zu werden, folgen einige unterschiedliche Aufgaben.
√
a) (2 Punkte) Berechnen Sie z = 5 32 im Komplexen und veranschaulichen Sie die Lösungen
zi ∈ C in der komplexen Zahlenebene. Welches geometrische Gebilde ergibt sich, wenn
Sie die einzelnen zi verbinden?
b) (3 Punkte) Veranschaulichen Sie für z ∈ C die folgenden Gleichungen/Ungleichungen in
der komplexen Zahlenebene:1
α) zz ∗ = 1
β) |z − 1| ≤ 3
γ) z + z ∗ ≥ −1
c) (2 Punkte) Für welche komplexen Zahlen z ∈ C ist der folgende Ausdruck A rein reell?2
2
3+z
Bitte wenden!
A=
3−z
√
Der Betrag im Komplexen ist |z| = zz ∗ . Im Falle der Ungleichungen ergeben sich Flächen in der komplexen
Zahlenebene.
2
Es ist die Gleichung Im(A) = 0 zu lösen. Dazu sollte man den Nenner durch Erweitern mit dem konjugiert
Komplexen reell machen und sodann z = reiϕ setzen.
1
Aufgabe 3: Differentiation - Elementare Ableitungen (5 Punkte)
Bilden Sie die nachfolgenden Ableitungen der Funktionen f : R → R : x 7→ f (x) unter
Beachtung sämtlicher Regeln der Differentiationskunst:
a) (1 Punkt)
b) (1 Punkt)
f (x) = x5 ln(x) + cos(x)
1
f (x) = ln cos(x)
2
c) (2 Punkte) f (x) = − na
ln
√
a+ √xn +a2
xn
und
f (x) =
und
f (x) = (sin (ln(x3 )))
2+ln(x)
x2
Hinweis: f 0 (x) =
2
√ 1
x xn +a2
d) (1 Punkt) Zeigen Sie mit Hilfe der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion g 0 (y) =
1
1
, dass für f (x) = arcsin(x) mit g(y) = sin(y) gilt:
f 0 (x) = √1−x
2
f 0 (x)
Aufgabe 4: Differentiation - Rotierende Scheibe (3 Punkte)
Eine Zylinderscheibe rotiert in einer zähen Flüssigkeit gemäß
ϕ(t) =
1
ln (kω0 t + 1)
k
mit t ≥ 0 .
Rotierende Scheibe
ϕ(t)
ϕ(t) ist der Drehwinkel zur Zeit t, k und ω0 sind positive Konstanten.
a) (2 Punkte) Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf der Winkelgeschwindigkeit ω(t) =
2
ϕ̇(t) := dϕ(t)
und der Winkelbeschleunigung α(t) = ω̇(t) = ϕ̈(t) := d dtϕ(t)
durch Bilden der
2
dt
Ableitungen nach t. Welche physikalische Bedeutung hat die Konstante ω0 ? Fertigen Sie
auch eine Skizze der Zeitabhängigkeit von ω(t) und α(t) an.
b) (1 Punkt) Welcher funktionale Zusammenhang besteht zwischen der Winkelbeschleunigung α(t) und der Winkelgeschwindigkeit ω(t)? Wie lässt sich dabei die Konstante k
interpretieren? Hinweis: Kombinieren Sie hierzu ihre Ergebnisse für ω(t) und α(t).
Aufgabe 5: Differentiation - Fall mit Luftwiderstand (3 Punkte)
Wird beim freien Fall der Luftwiderstand in Form einer dem Quadrat der Fallgeschwindigkeit v proportionalen Reibungskraft kv 2 berücksichtigt, so erhält man die folgende funktionale
Abhängigkeit der Fallgeschwindigkeit v vom Fallweg s:
s
2ks
mg
−
v(s) =
1−e m
mit s ≥ 0
k
Hierbei bezeichnet m die Masse des fallenden Körpers, g die Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche und k sei ein Reibungskoeffizient.
a) (1 Punkt) Aufgrund der Abhängigkeit s(t), also dem Zusammenhang zwischen Weg s und
Zeit t, lässt sich die obige Funktion auch als Funktion von der Zeit t in der Form v(s(t))
darstellen. Zeigen Sie für die Beschleunigung a(t) = dv
dann die Beziehung a(s) = v dv
.
dt
ds
Hinweis: Nutzen Sie die Kettenregel.
b) (2 Punkte) Berechnen Sie nun
Ortsabhängigkeit a(s) an.
dv
ds
und bestimmen Sie so a(s). Fertigen Sie eine Skizze der